Метод вариации произвольных постоянных
Мы узнали, как решать неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка специального вида. Изложим теперь общий метод нахождения решений неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Ограничимся, как и прежде, случаем уравнения второго порядка.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
(3.20)
и соответствующее однородное уравнение
. (3.21)
Пусть и
- два линейно независимых решения уравнения (3.21). Тогда общее решение этого уравнения есть
, (3.22)
где - произвольные постоянные.
Попробуем найти такие функции и
, чтобы при замене
на
и
на
выражение (3.22) удовлетворяло бы нашему неоднородному уравнению (3.20).
Так как искомых функций и
две, а мы наложили на них лишь одно требование: чтобы (3.22) было решением (3.20), то можно подчинить
и
еще одному условию. За такое условие выберем следующее: производная
выражения (3.22) должна выглядеть так, как если бы
и
были постоянны, т.е. чтобы было
. (3.23)
Так как на самом деле , то условие (3.23) можно записать в виде
. Тогда
. Подставляя (3.22), (3.23) в (3.20) получим
. Таким образом,
и
находятся из системы уравнений
,
. (3.24)
Определитель этой алгебраической системы (проверьте, что он является определителем Вронского!) относительно неизвестных и
отличен от нуля. Найдя
и
и проинтегрировав их, найдем и функции
и
.
Описанный метод называют методом Лагранжа (или методом вариации произвольных постоянных).
Пример 3.6.. Найти общее решение уравнения
(3.25)
методом Лагранжа.
Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет общее решение
. Решение уравнения (3.25) ищем в виде
. Система (3.24) принимает вид
,
.
(Упражнение. Определитель этой системы заведомо отличен от нуля. Почему?) Находим решение системы: ,
. Тогда
,
, и общее решение уравнения (3.25) есть
.
* Математик второй половины 17-го и первой половины 18-го веков.
Дата добавления: 2020-05-20; просмотров: 462;