Метод вариации произвольных постоянных
Мы узнали, как решать неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка специального вида. Изложим теперь общий метод нахождения решений неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Ограничимся, как и прежде, случаем уравнения второго порядка.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
(3.20)
и соответствующее однородное уравнение
. (3.21)
Пусть и - два линейно независимых решения уравнения (3.21). Тогда общее решение этого уравнения есть
, (3.22)
где - произвольные постоянные.
Попробуем найти такие функции и , чтобы при замене на и на выражение (3.22) удовлетворяло бы нашему неоднородному уравнению (3.20).
Так как искомых функций и две, а мы наложили на них лишь одно требование: чтобы (3.22) было решением (3.20), то можно подчинить и еще одному условию. За такое условие выберем следующее: производная выражения (3.22) должна выглядеть так, как если бы и были постоянны, т.е. чтобы было
. (3.23)
Так как на самом деле , то условие (3.23) можно записать в виде . Тогда . Подставляя (3.22), (3.23) в (3.20) получим . Таким образом, и находятся из системы уравнений
, . (3.24)
Определитель этой алгебраической системы (проверьте, что он является определителем Вронского!) относительно неизвестных и отличен от нуля. Найдя и и проинтегрировав их, найдем и функции и .
Описанный метод называют методом Лагранжа (или методом вариации произвольных постоянных).
Пример 3.6.. Найти общее решение уравнения
(3.25)
методом Лагранжа.
Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет общее решение . Решение уравнения (3.25) ищем в виде . Система (3.24) принимает вид
, .
(Упражнение. Определитель этой системы заведомо отличен от нуля. Почему?) Находим решение системы: , . Тогда , , и общее решение уравнения (3.25) есть .
* Математик второй половины 17-го и первой половины 18-го веков.
Дата добавления: 2020-05-20; просмотров: 428;