Дифференциальные уравнения первого порядка
Задача Коши
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:
.
Мы будем рассматривать уравнения, разрешенные относительно старшей производной, т.е. уравнения вида
. (2.1)
Часто рассматриваются также уравнения, которые удобно представлять несколько иначе:
. (2.2)
Соответствие (2.2) с (2.1) таково: представляя правую часть (2.1) в виде дроби , а в левой заменяя
на
и умножая (2.1) на
и
, получаем симметричную запись уравнения (2.1) в форме дифференциалов – уравнение (2.2).
Вообще, форма записи дифференциального уравнения в некоторых случаях подсказывает, как лучше исследовать его; нередко уравнение (2.1) бывает полезно представить и в таком виде
.
Если решение уравнения первого порядка зависит от одной-единственной произвольной постоянной: , то оно называется общим решением.
Если решение уравнения первого порядка представлено в неявной форме , где
- произвольная постоянная, то соотношение
называется общим интегралом.
Для дифференциального уравнения (2.1) задача Коши состоит в нахождении такого решения уравнения (2.1), которое принимает в заданной точке x0 заданное значение
, то есть
. (2.3)
Условие (2.3) называют начальным. Его часто записывают еще в такой форме .
Оказывается, что решение задачи Коши существует не всегда, и если существует, то не всегда единственно, что требует определенной осторожности при анализе полученных решений. Пусть, например, рассматривается задача Коши, описывающая какое-то физическое явление, и ее решение не единственно. Тогда найдя одно из решений, нельзя утверждать, что именно оно описывает рассматриваемое явление, а не какое-либо другое (не найденное нами!) решение той же задачи. Вот почему важна следующая теорема, называемая теоремой существования и единственности решения задачи Коши.
Теорема 2.1 (Коши). Если в уравнении (2.1) функция и ее частная производная
по переменной
непрерывны в некоторой области
на плоскости
, содержащей некоторую точку
, то существует единственное решение этого уравнения
, удовлетворяющее начальному условию (2.3):
при
.В связи с теоремой 2.1 определение общего решения, данное выше, часто уточняют следующим образом: общим решением дифференциального уравнения первого порядка (2.1) называется такая функция
, что
1) - решение уравнения (2.1) при любом значении C;
2) каково бы ни было начальное условие при
(точка (
) берется из области, в которой решение соответствующей задачи Коши существует и единственно), можно найти такое значение
, что функция
удовлетворяет данному начальному условию.
Фиксируя значение , например с помощью начального условия, из общего решения дифференциального уравнения выделяем частное решение. Например, общим решением уравнения
является
(проверьте!). Начальное условие
выделяет из общего решения частное
.
Дата добавления: 2020-05-20; просмотров: 520;