Решения дифференциального уравнения

При фиксированных значениях C₁, …, C_n , включая , из общего решения выделяется частное решение (а общий интеграл становится частным интегралом).

Например, - общее решение уравнения (1.5), а и - его частные решения, соответствующие выбору и . Общим решением уравнения (1.6), как уже отмечалось, будет ; его частные решения, получающиеся при выборе и , суть и .

Наконец, решения, которые нельзя получить из общего, придавая произвольным постоянным определенные значения, называются особыми. Например, общим решением дифференциального уравнения является функция (проверьте!), однако это уравнение имеет еще одно решение , которое не получается из общего ни при каком значении постоянной С, и значит, является особым. В некоторых случаях именно особые решения дают ответ на поставленный в исследовании вопрос, но задача нахождения особых решений трудна, и мы оставим ее в стороне.

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения приводит к необходимости вычислять интегралы, поэтому его называют интегрированием дифференциального уравнения. Когда общий интеграл дифференциального уравнения удается записать в форме, содержащей неопределенные интегралы (пусть даже не выражающиеся через элементарные функции), говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. Следует отметить, что большинство дифференциальных уравнений в квадратурах не интегрируется (один из множества примеров таких уравнений: ). В таких случаях решения находят приближенно, например численно, с помощью компьютеров. Однако далее мы рассмотрим некоторые типы уравнений, как раз интегрирующихся в квадратурах.

Целесообразность изучения таких уравнений объясняется несколькими моментами. Во-первых, для осознанного применения приближенных методов нужно разбираться в том, как в принципе получаются точные решения. Во-вторых, при решении задачи можно проследить физические механизмы формирования рассматриваемых процессов и зависимость процессов от параметров. В-третьих, уравнения этого класса очень часто встречаются на практике.

Начальные условия

В большинстве прикладных задач нужно найти функцию, удовлетворяющую как некоторому дифференциальному уравнению, так и некоторым дополнительным условиям. (Совместно, уравнение и эти условия образуют математическую модель исследуемого явления.) Обычно дополнительные условия получают, исходя из физической постановки задачи. Особенно часто задаются условия, определяющие значения решения и его производных при одном и том же значении аргумента, и тогда математическую модель называют задачей Коши.

Пусть, например, нужно получить закон движения тела массы m, брошенного вертикально вверх, под действием силы тяжести. Обозначив через t время, через - положение тела, через g – ускорение свободного падения, запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось: или

. (1.7)

Тогда по определению интеграла имеем: , . Мы получили общее решение, которое дает полезную информацию о характере движения тела (квадратичная зависимость высоты от времени), но не позволяет описать его конкретное движение. Для этого в самой формулировке задачи нужны дополнительные условия. Их можно задать различным образом. Пусть, например, в результате измерений установлено, что тело брошено (в момент t=0) из положения y₀ со скоростью . Эти данные можно выразить так:

, . (1.8)

Начальные условия (1.8) фиксируют значения постоянных С₁, С₂: подстановка y(t) в левые части (1.8) дает , . Тем самым дополнительные условия выделяют из общего решения частное , которое и описывает конкретное движение.

Уравнение (1.7) и условия (1.8) дают пример задачи Коши.

Во многих случаях значения решения и его производных необходимо указывать при разных значениях аргумента x; тогда получается краевая задача. Пример краевой задачи: найти решение уравнения , удовлетворяющего условиям , .

Также различные дополнительные условия могут использоваться для определения неизвестных параметров задачи. Эти случаи освещаются в разделе 2.6.