Уравнения с разделяющимися переменными
Рассмотрим уравнение (2.2)
. (2.2)
(Далее всюду предполагаем, что функции непрерывны в некоторой области изменения переменных x,y.)
Уравнение (2.2) (и соответствующее уравнение (2.1)) называется уравнением с разделяющимися переменными, если каждую из функций двух переменных ,
при помощи алгебраических преобразований можно представить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:
,
.
Следовательно, уравнение с разделяющимися переменными может быть записано в виде
. (2.3)
Полагая ,
, разделим обе части (2.3) на
. Тогда уравнение (2.3) примет вид
. (2.4)
Полученное уравнение (2.4) называют уравнением с разделенными переменными. Интегрируя (2.4) (существование интегралов обеспечено предположением о непрерывности функций):
, (2.5)
получаем равенство , которое можно записать как
. Получен общий интеграл уравнения (2.2).
Если дифференциальное уравнение имеет вид (2.1) и может быть записано в форме
,
то оно является уравнением с разделяющимися переменными. Поясним интегрирование дифференциального уравнения методом разделения переменных примером.
Пример 2.2. Решить дифференциальное уравнение
,
.
Решение. Перед нами уравнение с разделяющимися переменными. Полагаем . При
разделяем переменные:
,
.
Интегрируя обе части последнего равенства, получаем . Заметим, что произвольную постоянную С, возникающую при интегрировании, в данном случае удобнее записать в виде
(что мы и сделали). Очевидно, что при этом С1 > 0, но поскольку
изменяется от -¥ до +¥, то постоянная
может принимать любые значения. Потенцируя полученное равенство, получаем
или, после раскрытия модуля,
. Поскольку величина ±С1 может принимать любое не равное нулю значение, то решение можно записать в виде
,
. "Потерянное" при разделении переменных решение
(мы предположили, что
) входит в совокупность
при С=0 (а значит, не является особым). Таким образом, общее решение рассматриваемого уравнения имеет вид
, где С может принимать любые значения.
Пример 2.2а.Решить задачу Коши ,
,
.
Решение. Общее решение уравнения имеет вид
. Начальное условие
выделяет из общего решения некоторое частное. Находим последнее подстановкой общего решения в начальное условие, откуда определяется значение постоянной
:
, т.е.
. Подставляем теперь найденное значение
в общее решение и получаем искомое решение задачи Коши
.
Свободное обращение с уравнениями с разделяющимися переменными важно не только потому, что они часто встречаются на практике, но и в связи с тем, к этим уравнениям можно свести решения задач более сложных. Две из них мы сейчас рассмотрим.
Дата добавления: 2020-05-20; просмотров: 464;