Геометрический смысл дифференциального уравнения и связанных с ним понятий

Таким образом, каждое частное (и каждое особое) решение дифференциального уравнения (2.1) геометрически представляет собой некоторую линию – интегральную кривую. Но тогда общее решение нашего уравнения, являющееся собранием бесконечного множества частных его решений, геометрически представляет собой собрание, или как чаще говорят, однопараметрическое семейство, интегральных кривых: одна кривая этого семейства отличается от другой значением одного параметра – постоянной С.

Пример 2.1. Рассмотрим уравнение . Преобразуя его к виду , приравняем интегралы от обеих его частей: , отсюда (подробнее о решении этого уравнения см. раздел 2.3). Это семейство прямых, проходящих через начало координат. Параметр С является угловым коэффициентом прямой (рис. 2.1).

.Рисунок 2.1

Мы уже знаем, что начальное условие позволяет выделить из общего решения одно-единственное частное. Геометрически же задание такого условия равносильно заданию точки ( , ), через которую обязана пройти соответствующая интегральная кривая. Например, условие выделяет из семейства интегральных кривых, рассмотренных в нашем примере, т.е. из семейства прямых y=Cx, одну прямую y=x, проходящую через точку (1,1) (рис. 2.1).

Остановимся теперь на вопросе о том, что геометрически выражает само дифференциальное уравнение первого порядка. Пусть -то частное решение, которое удовлетворяет начальному условию , т.е. та интегральная кривая уравнения (2.1) , которая проходит через точку ( , ). Оказывается, что можно очень просто найти угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в каждой точке, даже не зная самого решения . Действительно, упомянутый угловой коэффициент в точке ( , ) равен , но так как , то .

Таким образом, тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой в точке ( , ) равен .

Каждая касательная задает некоторое направление, которое удобно изображать следующим образом. В точках области, в которых определена функция , проведем вектор единичной длины, образующий с осью Оx угол arctg (положительное направление вектора можно взять произвольным). Полученная в результате совокупность указателей называется полем направлений.

Если теперь построить поле направлений, достаточно густо нанеся указатели, и провести кривые, касательные к которым совпадают с указателями поля направлений в каждой точке, то эти кривые приближенно являются интегральными кривыми уравнения.

Поле направлений удобно строить не хаотично, а выбирать точки (x,y), в которых указатели имеют одинаковое направление, т.е. . Линии, образованные такими точками, называются изоклинами, а описанное выше построение интегральных кривых – методом изоклин.