Составление дифференциальных уравнений

Универсального алгоритма составления дифференциальных уравнений, описывающих тот или иной физический процесс или явление, нет. Здесь требуется хорошее знание физических законов той области науки, к которой относится рассматриваемая задача, и определенный опыт.

Приведем несколько примеров на составление дифференциальных уравнений.

Пример 1.1. Моторная лодка движется в спокойной воде. Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. Составить дифференциальное уравнение движения лодки.

На движущуюся лодку действует сила сопротивления F = - kv,где - скорость движения лодки, k - коэффициент пропорциональности. По закону Ньютона сила равна произведению массы на ускорение F= ( - масса лодки), откуда диффе­ренциальное уравнение движения имеет вид

(1.1)

Пример 1.2. Водород расширяется при постоянной температуре от своего первоначального объема V₀, имея первоначальное давле­ние р₀, при некотором внешнем давлении, которое бесконечно мало отличается от давления газа. Составить дифференциальное уравнение процесса расширения водорода.

Бесконечно малая работа, совершаемая при увеличении объема газа на величину dV, есть dW = pdV. Это – дифференциальное уравнение процесса. В данном случае газ расширяется изотермически и поэтому подчиняется закону Бойля—Мариотта pV = p₀V₀. Отсюда

p =

Тогда дифференциальное уравнение процесса примет вид

dW = (1.2) Пример 1.3. Пластина из графита толщиной 10 мм на поверх­ностях имеет постоянные температуры T₁= 1300° С и T₂= 100° С. Составить дифференциальное уравнение процесса теплопереноса (коэффициент теплопроводности графитной пластины ).

По закону Фурье

q = ,

где q - удельный поток теплоты, - коэффициент теплопроводности, скорость изменения температуры.

Подставляя данные задачи в это соотношение, получим дифференциальное уравнение процесса переноса тепла

. (1.3)