Решение методом дополнения до полного квадрата

Выражение типа х², или (х + 2)², или (х - З)², называется полным квадратом.

Если х² = 3, то х = ±√3 .

Если (х + 2)² = 5, то х + 2 = ±√5 и х = -2±√5.

Если (х - З)² = 8, то х - 3 = ±√8 и х = 3±√8.

Следовательно, если квадратное уравнение можно преобразовать таким образом, чтобы в одной части уравнения находился полный квадрат, а в другой части — число, тогда решение легко найти, взяв корень из каждой части уравнения, как в приведенных выше примерах. Процесс перегруппировки квадратного уравнения перед решением называется дополнением до полного квадрата. Имеем

(х + а)² = х² + 2ах + а².

Таким образом, для преобразования квадратичного выражения типа х² + 2ах необходимо добавить к нему половину коэффициента при х, возведенную в квадрат, т. е. (2а/2)² или а².

Пример. Решить 2x² + 5х = 3 методом дополнения до полного квадрата.

Шаг 1. Перегруппируем уравнение таким образом, чтобы все члены находились в одной части относительно знака равенства (коэффициент при х² должен быть положительным). То есть 2х² + 5х - 3 = 0.

Шаг 2. Приравниваем коэффициент при х² равным единице. В данном случае этого можно достичь, разделив уравнение на 2.

Следовательно,

Шаг 3. Перегруппируем уравнение таким образом, чтобы члены с х2 и х находились в одной части уравнения относительно знака равенства, а константа — в другой. Тогда

Шаг 4. Прибавляем к каждой части уравнения половину коэффициента при х, возведенную в квадрат. В данном случае коэффициент при х равен 5/2. Следовательно, половина коэффициента в квадрате — это (5/4)²

Шаг 5. Упрощаем правую часть уравнения. Получаем

Шаг 6. Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения (необходимо помнить, что квадратный корень имеет два значения: со знаком + и со знаком -)