Введение в теорию логарифмов. Правила вычисления логарифмов

При сегодняшней широкой распространенности калькуляторов таблицы логарифмов редко используются для вычислений. Однако теория логарифмов важна, поскольку ряд научных и инженерных законов включает логарифмический закон. Если число у может быть записано в виде а^х, то показатель степени х называют логарифмом у по основанию а. Таким образом,

Итак, поскольку 1000 = 10³, то 3 = log₁₀1000.

Проверьте это, используя функцию «log» в вашем калькуляторе.

Логарифмы по основанию 10 называют десятичными логарифмами, а обозначение log₁₀ обычно сокращают до lg. С помощью калькулятора можно проверить следующие значения:

lg 17.9 = 1.2528..., lg 462.7 = 2.6652... и lg 0.0173 = -1.7619... .

Логарифмы по основанию е (е — математическая константа, приблизительно равная 2.7183) называют натуральными логарифмами, и log_е обычно сокращают до In. С помощью калькулятора можно проверить следующие значения:

In 3.15 = 1.1474..., In 362.7 = 5.8935... и In 0.156 = -1.8578....

Более подробно о натуральных логарифмах можно прочесть в разд. 1.12.

Правила вычисления логарифмов. Есть три правила, всегда применимые при вычислении логарифмов:

- Логарифм произведения

- Логарифм отношения

- Логарифм степени

Пример. Вычислить: a) log₃ 9, б) log_I0 10, в) log₁₆ 8.

а) Пусть х = log₃ 9; тогда по определению логарифма 3^х = 9, т. е. 3^х = З², откуда х = 2.

Следовательно, log₃ 9 = 2.

б) Пусть х = log_I0 10; тогда по определению логарифма 10^х = 10, т. е. 10^х = 10¹, откуда х = 1.

Следовательно, log₁₀ 10 = 1 (это можно проверить с помощью калькулятора).

в) Пусть х = log₁₆ 8; тогда, исходя из определения логарифма, 16^х = 8, т. е. (2⁴)^х = 2³; значит, 2^4х = 2³, откуда 4х = 3 и х = 3/4.

Следовательно, log ₁₆ 8 = 3/4.

Пример. Вычислить: a) lg 0.001, б) In е, в) log₃ 1/81.

а) Пусть х = lg 0.001 = log₁₀ 0.001, тогда 10^х = 10^-3, откуда х = -3. Следовательно, lg 0.001 = -3 (можно проверить с помощью калькулятора).

б) Пусть x = ln e = log_е е, тогда е^х = е, т. е. е^х = е¹, откуда х = 1 . Следовательно, In е = 1 (можно проверить с помощью калькулятора).

Рассмотрим еще несколько примеров:

Графики логарифмических функций. На Рис. 1.7 показан график функции у = log₁₀x, а на Рис. 1.8 показан график функции у = log_ex. Оба имеют похожую форму; на самом деле, графики логарифмов по любому основанию имеют похожую форму.

Логарифм по любому основанию обладает следующими свойствами:
- log_α 1 = 0,
- log_αα = 1,
- log_e 0 → — ∞.