Вычисление натуральных логарифмов. Графики гиперболических функций

Логарифмы по основанию е называют натуральными логарифмами. Натуральный логарифм х записывается как log_ex или, что встречается чаще, как In x.

Вычисление натуральных логарифмов. Величину натурального логарифма можно определить, используя:

- калькулятор,
- взаимосвязь между обычными и натуральными логарифмами,
- таблицы натуральных логарифмов.

Наиболее распространенный метод вычисления натуральных логарифмов — использование инженерного калькулятора, который сегодня заменил четырехзначные таблицы, а также по формуле

log_e у = 2.3026 log₁₀y.

Большинство инженерных калькуляторов имеют функцию «ln х», которая позволяет получить значение натурального логарифма числа при нажатии соответствующей кнопки. Подсчитаем с помощью калькулятора:

In 4.692 = 1.5458589...= 1.5459 с точностью до 4 знаков после десятичной точки

и In 35.78 = 3.57738907...= 3.5774 с точностью до 4 знаков после десятичной точки.

Проверьте с помощью калькулятора следующие значения:

In 1.732 = 0.54928 с точностью до 5 значащих цифр,
In 1 = 0,
In 1750 = 7.4674 с точностью до 4 знаков после десятичной точки,
In 0.00032 = -8.04719 с точностью до 6 значащих цифр,
In e³ = 3,
In е¹ = 1.

Из последних двух примеров можно сделать вывод, что Iog_ee^x = x.

Это свойство может быть полезным при решении уравнений, содержащих экспоненциальные функции.

Пример. Чтобы решить показательное уравнение е^3x = 8, возьмем натуральный логарифм от обеих частей. В итоге получаем

In е^3x = In 8,
Зх = In 8.

Откуда х = 1/3 ln8 = 0.6931 с точностью до 4 знаков после десятичной точки.

Графики гиперболических функций. На Рис. 1.12 показан график функции у = sh х. Функция sh х является нечетной, поскольку ее график симметричен относительно начала координат.

График функции у = ch х показан на Рис. 1.13. График симметричен относительно оси у. Следовательно, ch х — четная функция. Форма у = ch х напоминает тяжелый трос, свободно провисающий под действием силы тяжести, и называется цепной линией. Примеры использования функции включают линии передачи, телеграфные провода, подвесные мосты, она также применяется при проектировании крыш и арок. Графики у = th х, у = csch х, у = sch х и у — cth x показаны на Рис. 1.14 и 1.15.

Функции у = th х, у = ch х и у = csch х симметричны относительно начала координат, следовательно, они являются нечетными функциями. График у = sch х симметричен относительно оси у, значит, это четная функция.