Решение методом разложения на множители

Умножение (2х + 1)(х - 3) дает 2х² - 6х + х - 3, т. е. 2х² - 5х - 3. Обратный процесс перехода от 2х² - 5х - 3 к (2х + 1)(х - 3) называется разложением на множители.

Если квадратное уравнение может быть разложено на множители — это простейший метод решения квадратного уравнения. Так, например, если 2х² - 5х - 3 разложить на множители, получим (2х + 1)(х - 3) = 0.

Тогда либо (2х + 1) = 0, т. е. х = -1/2, либо (х - 3) = 0, т. е. х = 3.

Разложение на множители часто называют методом проб и ошибок.

Пример. Решить уравнение х² - 2х - 8 = 0, используя метод разложения на множители.

Множители для х² — это х и х. Расположим их в скобках следующим образом: (х )(х ). Множители для -8: +8 и -1, или -8 и + 1, или +4 и -2, или -4 и +2. Единственная комбинация, которая дает средний член +2х, это +4 и -2, т. е.

х² + 2х - 8 = (х + 4)(х - 2).

(Заметим, что результат сложения произведения двух внутренних членов с произведением двух внешних членов должен равняться среднему члену в квадратном уравнении; в данном случае это +2.)

Таким образом, квадратное уравнение х² + 2х - 8 = 0 преобразуется в (х + 4)(х - 2) = 0. Поскольку это равенство верно только в том случае, когда первый, второй или оба множителя равны нулю, то либо (х + 4) = 0, т. е. х = -4, либо (х - 2) = 0, т. е. х = 2.

Следовательно, корни квадратного уравнения х² + 2х - 8 = 0 суть х = -4 и х = 2.

Пример. Найти корни х² - 6х + 9 = 0, используя метод разложения на множители.

х² - 6х + 9 = 0, значит, (х - 3)(х - 3) = 0, т. е. (х - З)2 = 0 (в левой части уравнения находится так называемый полный квадрат). Следовательно, х = 3 есть единственный корень уравнения х² - 6х + 9 = 0.

Пример. Найти корни 4x² - 25 = 0, используя метод разложения на множители.

4x² - 25 = 0 (в левой части уравнения находится разность двух квадратов, (2х)² и (5)²).

Итак, (2х + 5)(2х - 5) = 0.

Следовательно, или (2х + 5) = 0, т. е. х = -2/5, или (2х-5) = 0, т. е. х = 5/2

Пример. Корни квадратного уравнения равны 1/3 и -2. Составить уравнение для х.

Если корни квадратного уравнения равны α и β, то (х - α)(х - β) = 0.