Введение в теорию систем уравнений

Для нахождения одной неизвестной величины достаточно одного уравнения (как в случае простых уравнений из главы 6). Однако, если уравнение содержит две неизвестные величины, оно имеет бесконечное множество решений. Если имеются два уравнения, объединяющие две неизвестные величины, существует единственное решение. Аналогично для нахождения значений трех неизвестных величин необходимо иметь систему из трех уравнений и так далее.

Уравнения, которые должны быть совместно решены для определения единственной совокупности значений неизвестных величин, удовлетворяющей каждое из уравнений, называют системой уравнений.

Систему уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки или методом алгебраического сложения.

(Графический метод решения систем уравнений с двумя неизвестными рассматривается в разд. 4.4, а метод матриц и детерминантов — в разд. 7.2.)

Пример. Решить систему уравнений

подстановкой и алгебраическим сложением.

Подстановка: из уравнения (1) находим, что x = —1 —2у. Подставляя это выражение для х в уравнение (2), получаем 4(-1 - 2у) - 3у = 18. Теперь это простое уравнение относительно у. Раскрываем скобки:

и, подставляя у = -2 в уравнение (1), получаем

Итак, для данной системы уравнений х = 3, у = -2.
Алгебраическое сложение:

Если уравнение (1) умножить на 4, коэффициент при х будет такой же, как в уравнении (2), т. е.

Вычитая уравнение (1) из уравнения (2), получаем

(Заметим, что в проведенном вычитании 18 - (-4) = 18 + 4 = 22.)

При подстановке в уравнение (1) или (2) у = -2 получаем х = 3, как и по методу подстановки. Решение х = 3, у = -2 есть единственная пара величин, удовлетворяющих обоим начальным уравнениям.

Пример. Решить систему уравнений

При умножении уравнения (1) на 5 и уравнения (2) на 2 коэффициенты при у становятся численно одинаковыми (10), но имеют противоположные знаки.

(Заметим, что, если знаки общих коэффициентов различны, уравнения складывают, если знаки одинаковы, уравнения вычитают одно из другого.)

Подставляя х = 4 в уравнение (1), получаем

Итак, решение системы уравнений — это х = 4, у = 1, поскольку эти величины обеспечивают равенство при подстановке в оба уравнения.