Правила действий со степенями. Вынесение общего множителя за скобки

Правила действий со степенями алгебраически выражаются так:

Пример. Упростить a³b²с х аb³с⁵.

Разложим выражение на множители, т. е. а³ х а х b² х b³ х с х с⁵, и сгруппируем множители с одинаковым основанием, используя первое правило действий со степенями: a³⁺¹ х b²⁺³ х с¹⁺⁵.

В результате получаем a⁴ x b⁵ х с⁶ = а⁴b⁵с⁶

Вынесение общего множителя за скобки. Если два или более члена алгебраического выражения содержат одинаковый множитель, этот множитель можно вынести за скобки. Например, ab + ас = а(b + с).

Этот закон — обратный пятому основному закону алгебры:

6рх + 2ру - 4pz = 2р(3х + у - 2z).

Это действие называется вынесением общего множителя за скобки. Результатом его последовательного применения будет разложение алгебраического выражения на множители.

Пример. Раскрыть скобки и упростить выражение 2а - [3{2(4а - b) - 5 (а + 2Ь)} + 4а].

Сначала раскроем внутренние скобки:2а - [3{8 а - 2b - 5а – 10b} + 4а].

Приведем подобные члены, получив 2а - [3{3а – 12b} + 4а], и раскроем следующие внутренние скобки: 2а - [9а – 36b + 4а]. Затем приведем подобные члены, получив 2а - [13а – 36b], и раскроем внешние скобки: 2а - 13а – 36b.

Итак, получаем -11a + 36b, или 36b – 11a, согласно третьему закону алгебры.

Пример. Разложить на множители следующие выражения: ху — 3xz, 4а² + 16ab³, 3a²b — 6аb² + 15ab.

В каждом выражении одним из сомножителей будет наибольший общий делитель его членов. Следовательно,

xy-3xz = х(у - 3z);
4а² + 16ab³ = 4а(а + 4b³);
3а²b - 6аb² + 15ab = 3ab(a – 2b + 5).

Пример. Разложить на множители выражение ax - ay + bx - by.

Первые два члена содержат общий множитель а; последние два члена содержат общий множитель b. В итоге получаем

aх - ay + bx- by = а(х - у) + b(х - у), где оба члена содержат общий множитель (х - у). Таким образом, а(х - у) + b(х - у) = (х - у)(а + b).

Основные правила и последовательность выполнения действий. Арифметические правила о порядке выполнения действий над числами применимы и для алгебраических выражений. Последовательность действий такова: раскрытие скобок, деление, умножение, сложение, вычитание.

Пример. Упростить 2а + 5а х За — а.

Сначала выполняется умножение, затем сложение и вычитание. Таким образом,2а + 5а х За — а = 2а + 15а² - а = а+ 15а² = а(1 + 15a).