Показатели степени и научная форма записи числа

Показатели степени. Наименьшие делители числа 2000 — это 2х2х2х2х5х5х5. Данные делители можно записать в виде 2⁴ х 5³, где 2 и 5 называют основаниями, а 4 и 3 — показателями степени.

Показатели 2 и 3 имеют отдельные названия: первый называют «квадрат», второй — «куб». Таким образом, 7² — это «семь в квадрате», а 9³ — это «девять в кубе». Если показатель степени не указан, значит, он равен 1, т. е. 2 — это 2¹.

Обратная величина. Обратная величина некоторого числа — данное число в степени —1, т. е. единица, деленная на рассматриваемое число. Таким образом, величина, обратная 2, есть 2^-1 или 1/2 , или 0.5. Аналогично обратная величина 5 есть 5^-1 или 1/5 , или 0.2.

Корень квадратный. Корень квадратный из некоторого числа — рассматриваемое число в степени 1/2 , т. е. корень квадратный из 2 записывается в виде 2^1/2 или √2. Величина квадратного корня из некоторого числа — это такая величина, которая при умножении сама на себя дает это число. Поскольку 3 х 3 = 9, то √9 = 3. Однако (—3) х (—3) = 9, т. е. √9 = —3 . При определении квадратного корня из числа всегда существует два ответа; это показывают, ставя перед ответом одновременно знаки + и —. Таким образом, √9 = ±3.

Правила действий со степенями. При упрощении содержащих степени выражений можно использовать несколько базовых правил или законов, называемых правилами действий со степенями. Эти правила таковы:

1. При перемножении двух или более степеней с одинаковыми основаниями показатели степени складываются, т. е.

3² х 3⁴ = 3²⁺⁴ = 3⁶.

2. При делении одной степени на другую с тем же основанием показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, т. е. 3⁵/3² = 3^5-2 = 3³.

3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, т. е. (З⁵)² = З¹⁰.

4. При возведении любого числа в степень с показателем 0 получается 1, т. е. 3⁰ = 1.

5. При возведении числа в степень с отрицательным целым показателем получается величина, обратная этому же числу в положительной степени. Таким образом 3^-4 = 1/3⁴. Аналогично 1/2^-3 = 2³.

6. При возведении числа в дробную степень знаменатель этой дроби есть степень корня из числа, а числитель есть показатель степени числа. Итак,

Заметим, что √ = ²√.

Последовательность таких действий, как извлечение корня и возведение в куб, не имеет значения — результат получается один и тот же.

Правила действий со степенями применимы только к степеням с одинаковыми основаниями.

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями и применим правила действий со степенями к каждой из полученных групп:

Научная форма записи числа. Если число записано в виде произведения числа с одним знаком слева от десятичной точки на 10 в некоторой степени, говорят, что число записано в научной форме. Так, например, 5837 в научной форме имеет вид 5.837 х 10³, а 0.0415 в научной форме имеет вид 4.15 х 10^-2.

Для числа, представленного в научной форме, первый множитель называется мантиссой, а второй — порядком. Таким образом, число 5.8 х 10³ имеет мантиссу 5.8 и порядок 10³.

Числа в научной форме с одинаковым порядком можно складывать или вычитать, складывая или вычитая их мантиссы и сохраняя неизменным порядок. Таким образом,

Единственный способ сложить или вычесть числа с разными порядками — выразить одно из них в нестандартной форме так, чтобы оба числа содержали одинаковый порядок, т. е.

Правила действий со степенями используются также при умножении и делении чисел в научной форме. Например:

Пример. Выразить в научной форме 38.71 и 0.0124.

Число выражено в научной форме, если при записи слева от десятичной точки находится один знак.

Следовательно, чтобы получить число с одним знаком слева от десятичной точки, надо число 38.71 разделить на 10 и одновременно умножить на 10 для сохранения равенства.

Числа с одинаковыми порядками можно складывать, суммируя их мантиссы. Поэтому сначала надо привести числа к соответствующему виду: 9.293 х 10² + 1.3 х 10³ = 9.293 х 10² + + 13 х 10² = (9.293 + 13) х 10² = 22.293 х 10².

В научной форме имеем 2.2293 х 10³.

Числа можно также выразить в виде десятичных дробей. В итоге получаем 9.293 х 10² + 1.3 х 10³ = 929.3 + 1300 = 2229.3, или, в научной форме, 2.2293 х 10³ , т. е. получаем тот же результат, что и ранее.

Такой метод решения задач подобного типа часто оказывается самым надежным.