Теорема об остатке

Деление в столбик квадратичного выражения (ах² + bх + с) на (х - р), где р — любое целое число, дает

Остаток с + (b + ар)р = с + bр + ар² или ap² + bp + с.

Теорема об остатке формулируется так:

Если (ах² + bх + с) разделить на (х - 2), то остаток равен ар² + bр + с

Пример. Если (Зх² - 4х + 5) разделить на (х - 2), остаток будет равен ар² + bр + с (где a = 3,b = -4,с = 5 и p = 2),т.е. остаток равен 3(2)² + (- 4)(2) + 5 = 12 - 8 + 5 = 9.

Проверка. Делим в столбик (Зх² - 4х + 5) на (х - 2) и получаем

Аналогично при делении (х² - Зх - 2) на (х - 1) остаток будет равен 1(1)² + (3)(1) - 2 = 2.

Само по себе знание остатка алгебраического деления многочленов ничего не дает. Однако, если остаток равняется нулю, тогда (х - р) есть множитель. Данное свойство очень полезно при разложении выражений на множители.

Для кубического уравнения теорема об остатке может быть сформулирована в следующем виде:

Если (aх³ + bх² + сх + d) разделить на (х – р), то остаток равен ар³ + bр² + ср + d.

Как и ранее, остаток можно найти, заменяя в делимом р на х.

Пример. При делении (Зх³ + 2Х² - х + 4) на (х - 1) остаток равен ар³ + bp² + ср + d (где a = 3, b = 2, c = -1, d = 4 и p = 1). Следовательно, остаток составит

3(1)³ + 2(1)² + (-1)(1) + 4 = 3 + 2 - 1 + 4 = 8.

Аналогично при делении (x³ – 7x - 6) на (х - 3) остаток равен 1(З)³ + 0(3)² + 7(3) - 6 = 0. Это значит, что (х - 3) есть множитель для (х³ - 7х - 6).