Примеры определения центров тяжести составных фигур, образованных из простых сечений и прокатных профилей

Пример 6.3. Определить положение центра тяжести плоской фигу­ры, представленной на рис.6.14. Размеры даны в сантиметрах.

Решение. Вычерчиваем в масштабе заданную плоскую фигуру и разделяем её на три прямоугольника. Центры их тяжести находятся в точках пересечения диагоналей. Обозначим эти центры буквами C₁, С₂ и С₃.

Выбираем систему координат 0yz как показано на рис.6.14 и вы­числяем координаты точек C₁, С₂ , С₃.:

y₁ = 5 см, y₂ = I см , y₃ = 3 см

z₁= I см, z₂ = 3,5 см, z₃ = 6 см .

Вычисляем площади каждого прямоугольника:

A₁ = 10∙2 = 20 см², A₂ = 2∙3 = 6 см², A₃ = 2∙6 = 12 см².

По формулам (6.24) определяем координаты центра тяжести всей плос­кой фигуры:

, ,

,

Таким образом, центр тяжести площади заданной фигуры находит­ся в точке С (3,73; 2,97) по отношению к осям y и z .

Примечание: Решение задачи можно упростить, если выбрать дру­гую систему координат, оси которой проходят через центры тяжести отдельных частей заданной фигуры.

Рис. 6.14

На рис.6.14 показаны положения осей и , которые позволяют определить координаты центра тя­жести С, выполнив меньшее число арифметических операций, так как при этом z₁= 0 и y₂ = 0 .

Пример 6.4. Определить положение центра тяжести площади сечения, составленного из прокатных профилей: равнополочного уголка № 5,6 (ГОСТ 8509-57) и двутавра №12 (ГОСТ 8239-56). Расположе­ние элементов сечения и размеры в сантиметрах показаны на рис.6.15.

Рис.6.15

Решение. Рассматриваемое сечение состоит из двух элементов, площади которых находим из таблиц (таблиц сортамента прокатной стали):

A₁= 16,5 см² - площадь сечения двутавра №12 ;

A₂ = 5,41 см² - площадь сечения уголка № 5,6.

Из тех же таблиц находим все необходимые размеры, опреде­ляющие заданные сечения и положения их собственных центров тяжести С₁ и С₂ соответственно.

Выбираем систему координат Oy₁z₁ cначалом в центре тя­жести двутавра. Тогда точки С₁ и С₂ будут иметь следующие координаты: С₁(0 ; 0) , С₂(2,18 ; 7,57).

Определяем координаты центра тяжести всего сечения по фор­мулам (6.24).

,

,

Отложим от начала О вдоль координатных осей отрезки, равные вычисленным значениям y_c и z_c в принятом масштабе. Из получен­ных точек восстановим перпендикуляры к осям и продолжим их до взаимного пересечения в точке С - центре тяжести площади всего сечения.

Если площадь сечения составлена из двух простых фигур, то общий центр тяжести располагается на прямой, соединяющей их цент­ры тяжести и делит эту прямую на части, обратно пропорциональ­ные площадям, т.е: C₁C : СC₂= A₂: A₁.

Вопросы для самоконтроля полученных знаний

1) Что такое пространственная система сил?

2) В каком случае систему пространственных сил называют сходящейся?

3) Как определяется равнодействующая пространственной системы сходящихся сил?

4) Сколько и какие условия равновесия должны выполняться для пространственной системы сходящихся сил?

5) Что такое момент силы относительно оси? Как он определяется и в каком случае он имеет знак плюс и знак минус?

6) В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю?

7) Как приводится к центру произвольная система пространственных сил?

8) Что такое главный вектор системы пространственных сил? Чем отличается он от равнодействующей и чему он равен?

9) Какие составляющие имеет главный вектор?

10) Что такое главный момент системы пространственных сил? Как он определяется?

11) Какие составляющие имеет главный момент?

12) Сколько и какие условия равновесия должны выполняться, чтобы пространственная система сил находилась в равновесии?

13) Как определяется равнодействующая системы параллельных сил в пространстве?

14) Сколько и какие условия равновесия должны выполняться, чтобы пространственная система параллельных сил находилась в равновесии?

15) Что такое центр тяжести твердого однородного тела? Как определяются координаты центра тяжести?

16) Что такое центр тяжести плоской фигуры? Как определяются его координаты?

РАЗДЕЛ II