Алгебраический способ определения симметричных автоколебаний и устойчивости
Рассмотрим определение симметричных автоколебаний алгебраическим способом на основе гармонической линеаризации нелинейности. Пусть система (рис. 4.2) с одной нелинейностью имеет передаточную функцию линейной части (4.5), обладающую свойством фильтра нижних частот (раздел 4.1). Уравнения линейной части системы и нелинейного звена:
где
Уравнение замкнутой системы примет вид
(4.36)
Решение ищется приближенно в форме
(4.37)
с двумя неизвестными α и ω. После гармонической линеаризации (4.21) уравнение (4.35) приобретает вид
(4.38)
Поскольку в искомом решении (4.37) и , то гармонически линеаризованное уравнение замкнутой системы (4.38) можно рассматривать как обыкновенное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Специфика его состоит лишь в том, что имеются неизвестные постоянные коэффициенты, зависящие от искомого решения, что и позволит нам получить решение со специфическими свойствами, присущими нелинейной системе.
Запишем характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы:
(4.39)
Периодическое решение уравнения (4.38) соответствует паре чисто мнимых корней характеристического уравнения (4.39). Поэтому для отыскания этого решения подставим в него . Получим
Выделим в этом выражении вещественную и мнимую части в виде
В результате получим два алгебраических уравнения
(4.40)
из которых и определяются искомые амплитуда α и частота ω периодического решения (4.37).
Заметим, что решение задачи упрощается в случае однозначной нелинейности F(x): вместо (4.39) здесь имеем
При подстановке выделим вещественные и мнимые части многочленов Q и R в виде
Тогда вместо (4.40) получим
Эти два уравнения можно преобразовать к виду
(4.41)
Сначала из второго уравнения определяется частота ω периодического решения, а затем из первого уравнения определяется амплитуда α. Видно, что частота зависит от параметров линейной части и не зависит от формы однозначной нелинейности. В случае же петлевой нелинейности это свойство нарушается и будет иметь место общий случай уравнений (4.39).
Определив таким образом периодическое решение, надо исследовать его устойчивость. Если оно устойчиво, то это означает автоколебательный процесс. Неустойчивое периодическое решение имеет другой смысл (раздел 1.3 о неустойчивом предельном цикле).
Классический подход к исследованию устойчивости периодического решения состоит в следующем. Рассмотрим отклонение от исследуемого периодического решения:
где вычисляется по формуле (4.15).
С учетом этого уравнение динамики системы (4.36) примет вид
или после разложения в степенной ряд
Но согласно (4.35)
поэтому, отбросив слагаемые с производными высшего порядка, получаем уравнение в малых отклонениях
устойчивость которого надо исследовать.
Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Например, если , то коэффициент
Однако исследовать точными методами устойчивость уравнения высокого порядка с периодическими коэффициентами весьма сложно. Поэтому обратимся к приближенному способу.
Дадим малые начальные отклонения амплитуды и частоты от их значений α и ω в периодическом решении. Тогда
(4.42)
Этим выражением описывается колебательный переходный процесс вблизи периодического (4.37). Для устойчивости найденного периодического процесса необходимо, очевидно, чтобы в выражении (4.42) величины и ξ имели одинаковые знаки. В этом случае при положительном амплитуда уменьшается, а при отрицательном — увеличивается, стремясь к значению α.
Чтобы на этом основании вывести критерий устойчивости, используем символическую запись выражений (4.6) и (4.42); соответственно имеем
Первое решение определяется уравнением
По аналогии с этим для нахождения второго решения запишем уравнение
Разложив это выражение в ряд Тейлора и, использовав предыдущее выражение, получим
,
где звездочка означает подстановку значений α и ω, соответствующих исследуемому периодическому решению.
Если в этом выражении выделить вещественную и мнимую части, а из полученных в результате двух уравнений исключить величину Δω, то найдем
Для устойчивости периодического решения, как уже говорилось, требуется одинаковость знаков ξ и . Следовательно, требуется, чтобы
(4.43)
В дополнение к этому нужно потребовать, чтобы в характеристическом уравнении гармонически линеаризованной системы (4.39) все остальные корни (кроме использованной нами пары чисто мнимых) имели отрицательные вещественные части, т. е. чтобы многочлен
(4.44)
удовлетворял критерию Гурвица (или Михайлова). В случае систем третьего и четвертого порядка для этого достаточно потребовать лишь положительности коэффициентов уравнения (4.38).
Итак, критерием устойчивости периодического решения является неравенство (4.43) с добавлением (4.44), если исследуется система выше четвертого порядка.
Пример 4.11. Следящая система (рис. 4.13) описывается уравнениями:
где — нелинейная характеристика усилителя с насыщением (рис. 1.5).
Уравнение линейной части при будет
где
Рис.4.13. Следящая система с усилителя
с насыщением
Гармоническая линеаризация нелинейности, согласно (4.28), дает
k при α ≤ b
q = при α ≥ b
Гармонически линеаризованное уравнение замкнутой системы имеет вид
(4.45)
а характеристическое уравнение —
После подстановки получаем два уравнения
(4.46)
Здесь подтверждается свойство (4.41). Из второго уравнения определяем частоту периодического решения
(4.47)
а из первого при этом получаем
(4.48)
Рис.4.14. Нахождение амплитуды
периодического решения α
Используя готовый график (рис. 4.8, а), находим амплитуду периодического решения α, как показано на рис. 4.14.
Для определения устойчивости решения, согласно критерию (4.43), надо найти производные выражений (4.46):
Критерий (4.43) удовлетворяется. Следовательно, имеют место автоколебания.
Рис. 4.15. Граница области
автоколебаний
Если учесть, что (рис. 4.14), из уравнения (4.48) вытекают условия существования автоколебаний
или
(4.49)
где — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи данной системы в линейном плане. Легко видеть, что (4.49) представляет собой условие неустойчивости этой системы как линейной согласно критерию Гурвица. Граница устойчивости
является в то же время границей области автоколебаний. Эта граница нанесена на плоскости параметров (К, Т1) (рис. 4.15). Левее этой границы имеет место область устойчивости равновесного состояния системы, а правее — область автоколебаний, где изображены, согласно (4.47) и (4.48), линии равных значений α и ω.
Зависимость амплитуды автоколебаний от коэффициента К изображена на рис. 4.16.
Рис. 4.16. Зависимость
амплитуды
автоколебаний от К
Если величину α трактовать шире — как амплитуду колебаний в переходном процессе, то стрелками (рис. 4.16) можно показать направление изменения амплитуды в разных областях значений К. В линейной системе (без насыщения) при было бы затухание, а при — неограниченно расходящиеся колебания. В нелинейной системе (с насыщением) колебания при расходятся не до бесконечности, а до определенной амплитуды. При больших же начальных отклонениях они даже затухают (рис. 4.16), так как имеется устойчивый автоколебательный режим.
Пример 4.12. Пусть теперь в той же следящей системе (рис. 4.13) усилитель имеет релейную характеристику (рис. 1.3). Уравнение замкнутой системы имеет вид (4.45), где, в отличие от прежнего случая,
при α ≥ b
Решения (4.47) и (4.48) сохраняют свой вид. Меняется только график q(α). Подобно рис. 4.6, б он показан здесь на рис. 4.17.
Рис.4.17. График q(α)
Уравнение (4.48) имеет два решения α1 и α2 (рис. 4.17), причем в точках α1 и α2 имеем соответственно и . С учетом этого знаки производных в критерии устойчивости периодического решения (4.43) оказываются такими, что в точке α1 критерий не выполняется (решение неустойчиво), а в точке α2 — выполняется. В соответствии с этим решением (рис. 4.17) на рис. 4.18 изображена зависимость амплитуды автоколебаний (α2) и амплитуды неустойчивого периодического решения (α1) в зависимости от коэффициента усиления линейной части системы . Стрелками обозначены направления изменения амплитуды колебаний в переходных процессах. Величина (рис. 4.18) соответствует точке максимума на рис. 4.17, т. е.
При равновесное состояние устойчиво при любых начальных условиях. Если , то равновесное состояние устойчиво лишь при малых начальных отклонениях (ниже линии α1), а при больших начальных отклонениях (выше линии α1) устанавливаются автоколебания с амплитудой α2.
Здесь имеет место пример присущей нелинейным системам существенной зависимости характера поведения системы от порядка величин начальных условий. Линии α1 и α2 (рис. 4.18) разделяют области притяжения различных установившихся режимов по начальным условиям.
На рис. 4.19 показан результат решения той же задачи при идеальном реле, а на рис. 4.20 — при петлевой характеристике реле. Последний случай отличается тем, что характеристическое уравнение вместо прежнего
Рис.4.18. Зависимость амплитуд Рис.4.19. Результат
(α1) и (α2) от kЛ решения задачи при
идеальном реле
получает вид
где, согласно (4.23),
После подстановки получаем
(4.50)
Исключив kЛ из этих уравнений, с подстановкой выражения q'(α) получим
откуда определяется ω(α) при заданных Т1 и Т2. После этого из второго уравнения (4.50) имеем
а) б)
Рис.4.20. Зависимости α(kЛ) и ω(kЛ)
Это позволяет, с учетом полученной выше зависимости ω(α), построить зависимости α(kЛ) и ω(kЛ), изображенные на рис. 4.20. Решение характеризуется наличием зависимости ω(kЛ) (рис. 4.20, б) в отличие от всех предыдущих примеров, где частота ω (4.47) не зависела от К и .
Заметим, что в отличие от случаев, показанных на рис. 4.19 и 4.20, с мягким возбуждением автоколебаний при любых параметрах системы, на рис. 4.18 для релейной системы с зоной нечувствительности имеем область устойчивости равновесного состояния ( ) и жесткое возбуждение автоколебаний при (требующее заброса начального состояния системы за линию α1, т. е. α0 > α1).
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 736;