Теорема о циркуляции

М   Рис. 1.

1. Поле прямого тока. Рассмотрим прямой бесконечный провод, несущий постоянный линейный ток I (рис. 1), и найдем поле B в произвольной точке M на расстоянии a от него. Для этого разобьем провод на малые элементы Dl_i << a, посчитаем вклад каждого из них и результаты просуммируем. В соответствии с законом Био – Савара поле DB_i отрезка Dl_i изображенного на рис. 1, будет направлено перпендикулярно плоскости чертежа на нас, а величина его

,

где R_i – расстояние от Dl_i до исследуемой точки поля, а a_i угол между Dl_i и R_i. По принципу суперпозиции полное поле B направлено в ту же сторону, а величина его

, (1)

где суммирование производится по всем элементам, на которые разбит наш ток.

Для вычисления входящей в (1) суммы рассмотрим аналогичную электростатическую задачу расчета поля бесконечной прямой нити (рис. 2) с равномерно распределенным по ней зарядом линейной плотности

Рис. 2.

,

где Dq – заряд, находящийся на отрезке нити длиной Dl. Поле DE_i в произвольной точке M на расстоянии a от нити, создаваемое ее участком Dl_i , будет направлено (для определенности полагаем ) вдоль радиуса, проведенного из Dl_i в M. Однако вклад в общее поле будет давать только нормальная ее составляющая DE_^i , ибо любому Dl_i найдется симметричный относительно точки N (отрезок MN перпендикулярен нити) участок (на рис. не показан), возбуждающий равное и противоположное DE_{|| i} поле. Таким образом, параллельные нити составляющие для всех ее отрезков попарно взаимно уничтожатся и полное поле E будет направлено радиально (что, впрочем, очевидно и из соображений симметрии), а величина его

E = = = , (2)

где – заряд элемента нити Dl_i.

Теперь понятно, для чего мы прибегли к электростатическому аналогу нашей задачи: в (2) входит та же сумма, что и в (1)! Но сейчас мы легко можем ее найти, ведь поле E без труда вычисляется с помощью теоремы Гаусса. Предоставляя эти вычисления провести читателю самостоятельно, напишем лишь их результат:

E = . (3)

Сравнивая (3) с (2), получаем

= ,

что после подстановки в (1) дает

B = = . (4)

Заметим, что это соотношение используется для определения единицы силы тока – ампера, которая является одной из основных в системе СИ. Если два длинных прямолинейных проводника с текущими в одном направлении одинаковыми токами I расположить параллельно друг другу на расстоянии a, то между ними, как нетрудно видеть, возникнет сила притяжения, величина которой в расчете на участок проводника длины Dl

F = IDlB = = .

По определению I = 1 А, если при a = 1 м и Dl = 1 м, F = 2 × 10–7 Н, т. е. за единицу силы тока – ампер – принимается такой линейный ток, который действует на равный ему ток, расположенный на расстоянии 1 м, с силой , приходящейся на каждый метр длины проводника.

2. Циркуляция вектора B. Найдем сначала циркуляцию вектора B вдоль линии этого вектора, т. е. вычислим сумму [24] вдоль окружности радиуса a:

= = = .

Рис. 3.

Докажем, что такой же[25] будет циркуляция B и при обходе по произвольной замкнутой кривой Г, лежащей в перпендикулярной току плоскости и охватывающей его (рис. 3). Для этого проведем из точки M, в которой ток пронизывает плоскость, два луча под небольшим углом Db друг к другу. Лучи эти вырежут малый (практически прямолинейный) отрезок Dl кривой Г, вклад которого в циркуляцию

B_l Dl = BDl cos a = ± BDl¢, (5)

где a – угол между векторами Dl и B, а Dl¢ – ограниченный нашими лучами отрезок линии B, проходящей через элемент Dl, причем в (5) нужно брать, очевидно, «+», если cos a > 0, и «–», если cos a < 0. Оба эти случая можно охватить одним выражением

± Dl¢ = aDb,

если угол Db считать алгебраическим, т. е. положительным, когда cos a > 0, или проекция Dl на линию В положительна, и отрицательным, когда эта проекция меньше нуля. В первом случае, очевидно, направления Dl и тока образуют правовинтовую систему, во втором – левовинтовую. Таким образом, с учетом (4),

Рис. 4.

B₁Dl = Db, (6)

т. е. вклад отрезка Dl в циркуляцию не зависит от его расстояния до тока, а определяется, помимо величины I, лишь (положительным или отрицательным) углом Db, под которым виден этот отрезок из точки пересечения тока с плоскостью.

Суммируя выражения типа (6) для всей замкнутой кривой Г, получим

= = ,

где b – полный угол, под которым видна из М вся кривая Г. Если она не охватывает тока (рис. 4), то, очевидно, b = 0, ибо кривая эта разделится точками 1 и 2 на две части, дающие в циркуляцию противоположные вклады. Если же она охватывает ток один раз[26] (см. рис. 3), то b = ± 2p[27] (в зависимости от произвольно выбранного направления обхода Г) и

, (7)

Рис. 5.

причем знак b можно приписать току I, считая его положительным, если он образует с направлением обхода Г правовинтовую систему, и отрицательным в противном случае. Поскольку по определению тока его знак связан с выбором положительной нормали n к поверхности, через которую он протекает, это правило фактически устанавливает связь между произвольно выбранным (положительным) направлением обхода контура и направлением положительной нормали к поверхности, опирающейся на этот контур. Эти направления, гласит правило, образуют правовинтовую систему (рис. 5). Во всем дальнейшем изложении мы будем его придерживаться.

Итак, циркуляция B вдоль любой кривой, лежащей в перпендикулярной к току плоскости и охватывающей его, определяется формулой (7). Нетрудно видеть, что эта формула остается справедливой и для кривой, не лежащей в указанной плоскости. В самом деле, раскладывая произвольный отрезок Dl этой кривой (рис. 6) на параллельную Dl_|| и перпендикулярную Dl_^ току составляющие и записывая его вклад в циркуляцию, получим

(B, Dl) = (B, Dl_|| + Dl_^) = (B, Dl_||) + (B, Dl_^).

Рис. 6.

Но (B, Dl_|| ) = 0, ибо векторы В и Dl_|| перпендикулярны, так что вклад в циркуляцию даст только составляющая Dl_^, численно равная проекции вектора Dl на перпендикулярную току плоскость. Таким образом, расчет циркуляции В по произвольному контуру сводится к ее вычислению вдоль проекции этого контура на перпендикулярную плоскость (ибо индукция В от «высоты» не зависит), которое, как мы видели, дает формулу (7).

Рис. 7.

Используя принцип суперпозиции, легко обобщить доказанное утверждение на случай любого числа n прямых бесконечных токов, пронизывающих данный контур Г. Тогда

= , (8)

где направление обхода контура выбирается произвольно, а знаки токов – по установленному нами правилу правого винта.

Соотношение (8) выражает так называемую теорему о циркуляции. Можно показать, что она справедлива в самом общем случае произвольных токов, пересекающих поверхность, опирающуюся на данный замкнутый контур Г[28] (рис. 7). Задавая направление обхода Г и получая из него ориентацию положительной нормали n, легко найти знаки входящих в (8) токов. На рис. 7, например, ток I₁ вклада в циркуляцию не дает, токи I₄ и I₅ считаются положительными, ток I₂ – отрицательным, а ток I₃ пересекает поверхность дважды: один раз в направлении n, другой – навстречу ему. Поэтому и в сумму токов (8) он войдет дважды, причем с разными знаками, и, стало быть, вклада в циркуляцию тоже не даст. Понятно, что если выбрать на рис. 7 поверхность S сильно выпуклой вверх, то ток I₃ вовсе ее не «зацепит».

Рис. 8.

Но, может быть, при деформации S появятся новые токи, пронизывающие ее, или исчезнет часть старых и, таким образом, изменится правая часть (8)? Нетрудно видеть, однако, что этого не произойдет и правая часть (8) от выбора S не зависит. Для доказательства рассмотрим две произвольные поверхности S₁ и S₂ , опирающиеся на заданный контур Г (рис. 8). Они образуют, очевидно, одну замкнутую поверхность S_S , поток вектора j через которую по условию стационарности токов (18л14) равен нулю. Применительно к нашему случаю линейных токов это и означает, что алгебраическая сумма токов, втекающих в S_S через поверхность S₂ , т. е. пересекающих ее в направлении n₂ (связанным с направлением обхода Г правилом правого винта), равна сумме токов, вытекающих из нее через поверхность S₁ (в направлении n₁).

Рис. 9.

Можно сформулировать теорему о циркуляции, вообще не прибегая к поверхности S. Действительно, в силу замкнутости постоянных токов их можно разбить на 2 класса (см. рис. 9, где изображены также токи, текущие из бесконечности в бесконечность): сцепленные, как звенья цепи, с данным контуром (типа I₄ и I₂) и не сцепленные с ним (типа I₃ и I₁). Очевидно, первые будут давать вклад в циркуляцию B вдоль Г, вторые – нет. Таким образом, можно сказать, что циркуляция вектора B вдоль любого замкнутого контура Г равна (умноженной на m₀) алгебраической сумме токов, сцепленных с данным контуром. При этом положительными считаются токи, образующие с направлением обхода Г правовинтовую систему, а отрицательными – систему левовинтовую.