Интерполяция функций




 

Вычисление значений функции y = f(x) – одна из тех задач, с которой приходится постоянно сталкиваться в инженерной практике. Однако сделать это не всегда возможно. Примером тому следующие типичные ситуации:

· функция задана таблицей значений (нет аналитического выражения)
,(i = 0, 1, 2,…, n),необходимо вычислить значения функции в точках, не совпадающих с табличными;

· аналитическое выражение f(x) есть, но получение ее значений затруднено громоздкими и сложными вычислениями;

· значения функции в требуемых точках могут быть получены только экспериментально.

 

В этих и ряде других случаев возникает необходимость приближенного вычисления функции y = f(x).

Задача аппроксимациисостоит в следующем. Функцию f(x), заданную таблично, требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией j(х) так, чтобы отклонение j(х) от f(x) в некоторой области удовлетворяло заданному условию. Функция j(х) называется аппроксимирующей функцией.

В качестве аппроксимирующей функции часто используют алгебраический многочлен вида:

 

jm(x) = a0 + a 1x + a 2x2 + … + amxm. (1.3.1-1)

 

В этом случае говорят о параболической аппроксимации.

Частным случаем задачи аппроксимации таблично заданной функции является интерполирование. Интерполирование состоит в следующем. Для функции y = f(x), заданной в (n + 1) точке , найти функцию j(х), принимающую в этих точках заданные значения, то есть

 

,i = 0, 1, 2, … n. (1.3.1-2)

 

Будем называть (1.3.1-2) условием интерполяции, точки – узлами интерполяции, а функцию j(х) – интерполирующей функцией.

При интерполяции критерием приближения аппроксимирующей функции к заданной является совпадение их значений в узлах интерполяции.

Геометрической интерпретацией задачи интерполяции является нахождение функции, график которой проходит через заданную систему точек , i = 0, 1, …, n (рис. 1.3.1-1). Если в качестве интерполирующей функции используется алгебраический многочлен
(1.3.1-1) степени не выше n, то задача имеет единственное решение.

 

  ___ интерполируемая функция   ----- интерполирующая функция    

 

Рис.1.3.1-1

 

Применяя интерполирующую функцию (1.3.1-1), запишем условие (1.3.1-2) для каждого из (n + 1) узлов. В результате получим следующую систему (n + 1) линейных уравнений:


Эта система однозначно разрешима, так как ее определитель (определитель Вандермонда) отличен от нуля, если узлы интерполяции различны. Решение полученной системы n+1 линейных уравнений относительно неизвестных а0, а1, …, аn позволяет найти коэффициенты интерполирующего многочлена (1.3.1-1).

 

Пример 1.3.1-1.Пусть функция y = f(x) задана таблично:

xi 1.2 1.4 1.6 1.8
yi -0.16 -0.24 -0.24 -0.16

 

Требуется построить интерполяционный многочлен, позволяющий вычислить значение f(x) в точке x = 1.43.

Полагая x0 = 1.2 , x1 = 1.4 , x2 = 1.6,

y0 =-0.16, y1 = -0.24, y2 = -0.24,получим систему уравнений

 

 

Решая систему уравнений, получим следующие значенияа0 = 2, а1 = -3, а2 = 1.Тогда интерполяционный многочлен имеет следующий вид: P2(x)=2 – 3x + x2,а значение многочлена в точке 1.43 равно P2(1.43)= -0.2451.






Дата добавления: 2016-05-31; просмотров: 1686; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.025 сек.