ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ

Пусть система

Рис.2.4.

описывается следующим дифференциальным уравнением

, (2.3)

где и - соответственно входной и выходной сигналы, - возмущающее воздействие.

Уравнение (2.3) является нелинейным. Процесс исследования нелинейных систем существенно сложнее процесса исследования линейных. Поэтому исследование нелинейных систем стремятся свести к исследованию линейных. Процедура преобразования нелинейных уравнений в линейные называется линеаризацией.

Процедура линеаризации базируется на разложении нелинейных функций, входящих в уравнения, в ряд Тейлора. Необходимо отметить, что разложение какой либо функции в ряд Тейлора происходит в достаточно малых окрестностях некоторой точки. В качестве такой точки берется точка, соответствующая заданному режиму работы системы. В установившемся состоянии это может быть режим равновесия. Заметим, что отклонения реальных значений входных и выходных сигналов от их заданных значений в нормально работающей замкнутой автоматической системе не велико. Система работает по принципу парирования таких отклонений.

Обозначим переменные, соответствующие заданному режиму работы системы

. (2.4)

Введем отклонения реальных значений сигналов от требуемых

, , .

Тогда

, , , , , .

Рассматривая функцию выражения (2.3) как функцию независимых переменных , разложим ее в ряд Тейлора в точке (2.4), соответствующей заданному режиму

+ + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + + +

+ + + + + =0.

В этом выражении оставим только первые члены разложения, отбросив малые члены более высокого порядка.

+ + +

+ + =0. (2.5)

В заданном режиме уравнение (2.3) примет вид

.

Вычтем это уравнение из (2.5), получим

+ + + =0. (2.6)

Введем обозначения

, , , , .

Подставив их в (2.6) и отбросив знак , получим линеаризованное уравнение в отклонениях

. (2.7)

Линеаризация уравнения (2.3) была проведена в предположениях:

- отклонения входных и сигналов от их заданных значений малы,

- функция имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам в окрестности точки разложения, соответствующей заданному режиму,

- линеаризованное уравнение (2.7) является уравнением в отклонениях.

Рассмотрим Рис.2.5.

Рис.2.5.

В этом случае нелинейная зависимость между и , выраженная

кривой , в окрестностях точки разложения , заменена касательной . Запись же уравнения в отклонениях, соответствует переносу начала координат в точку .