ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ЕГО ОСНОВНЫЕ

СВОЙСТВА

Преобразованием Лапласа называется следующее соотношение

, (2.8)

где - функция вещественного переменного, - функция комплексного переменного . Преобразование Лапласа ставит в соответствие функции действительного переменного функцию комплексного переменного . Смысл преобразования Лапласа заключается в том, что оно переводит рассмотрение процесса, являющегося функцией действительного переменного, например времени, на комплексную плоскость с координатами и .

Функцию называют оригиналом, а функцию изображением по Лапласу или просто изображением. Преобразование Лапласа можно записать в символическом виде

(2.9)

где - оператор Лапласа.

Функция , являющаяся оригиналом, должна обладать следующими свойствами:

- должна быть определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной числовой полуоси ;

- при ;

- существуют такие положительные числа и , что при .

С помощью обратного преобразования Лапласа

, (2.10)

можно найти по известному изображению его оригинал. В нем интеграл берется вдоль любой прямой . Символически обратное преобразование Лапласа можно записать

,

где - обратный оператор Лапласа.

Рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности. Для любых постоянных и

.

2. Дифференцирование оригинала.

Для первой производной

, где .

Для n-й производной

,

где

, .

Если начальные условия нулевые

,

то

.

Таким образом, n-кратное дифференцирование оригинала при нулевых начальных условиях, соответствует умножению изображению на n-ю степень .

3. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на .

.

4. Теорема запаздывания. Для любого положительного

.

5. Теорема о свертке. Если и - оригиналы, а и - их изображения, то

.

Интеграл правой части называется сверткой функций и , который обозначают *

.

6. Теорема о предельных значениях. Если - оригинал, а - его изображение, то

,

и при существовании предела ,

справедливо записать

.