Уравнение касательной


Рассмотрим случай касательной к овальной квадрике, (D = 0).

4∙(АТQТВ-4∙(АТQА)∙(ВТQВ)=0 (АТQТВ-(АТQА)∙(ВТQВ)=0.

Если точку А фиксировать, а точку В сделать переменной тогда уравнение касательной к квадрике, проведенной из точки А, будет следующим: (АТ∙QТХ) ² - ( АТ∙Q∙А)( Х Т∙Q∙Х) =0 (**)

Фактически это уравнение является квадратичной формой и в то же время уравнением прямой, то есть распадается на прямые. Проанализируем это уравнение для случая, когда точка А принадлежит квадрике и не принадлежит квадрике.

· А КВП АТQА=0 (АТQТХ=0 - квадратичная форма (**) распалась на две совпавшие прямые. Т.о. АТQТХ =0 - уравнение касательной.

· А КВП.

(АТQТХ- (АТQА)∙(Х ТQХ) = 0 - ранг этой квадратичной формы не может равняться 3 потому, что это прямые, а значит квадратичная форма должна быть вырожденной. Так же ранг этой квадратичной формы не может быть равен 1. Докажем это от противного.

Пусть ранг (**) равен 1, тогда она распадается на две совпавшие прямые

(АТQТХ- (АТQА)∙(Х ТQХ) = (иХ

ХТQХ= ((АТQТХ-(иХ)²)= ((АТQТХ)- иХ) ((АТQТХ)+иХ)

овальная квадрика ХТQХ распалась на линейные множители, на прямые - это противоречие. Т.о. ранг (**) равен 2, т.е. это или две пересекающиеся прямые или две мнимые прямые пересекающиеся в одной действительной точке.

Вывод: Если точка принадлежит квадрике, то через неё можно провести только одну касательную. Если точка не принадлежит квадрике, то касательных или две или ни одной.

Определение: Точка называется внешней относительно квадрики, если через нее можно провести две касательных и внутренней, если касательных нет.

 

 

Лемма. Пусть дана овальная квадрика х1²+х2²3²=0 и точка . Точка является внутренней точкой овальной квадрики тогда и только тогда, когда а1²+а2²3² < 0 (если а1²+а2²3² > 0 - внешней).

Доказательство. (Самостоятельно).

Задача. Дана квадрика 2х1²+х3²-2х1х2-2х1х3=0.

Найти уравнения касательных к квадрике, проходящих через точки А , В .

Решение. Матрица квадрики Q= .

АТQА=(1:8:5)∙ =(-11:-1:4)∙ =1 А КВП,

Применим формулу (**) (АТQТХ- (АТQА)∙(Х ТQХ) = 0.

АТQХ=( 1: 8 : 5 )∙ =(-11 : -1 : 4)∙ 11∙х1+ х2 - 4∙х3=0

(11∙х1 + х2 - 4∙х3 )² - 1∙(2∙х1² + х3² - 2∙х1х2 - 2∙х1х3 ) =

= 121∙х1² + х2² + 16∙х3² + 22∙х1х2 - 88∙х1х3 - 8∙х2х3 - 2∙х1² - х3² + 2∙х1х2 + 2∙х1х3 =

= 119∙х1² + х2² + 15∙х3² + 24∙х1х2 - 86∙х1х3 - 8∙х2х3 =

= х2² +2∙х2∙12∙х1 -2∙х2∙4∙х3 +144∙х1² +16∙х3² -2∙12∙х1∙4∙х3 -144∙х1² -16∙х3² +96∙х1х3 +119∙х1² +15∙х3² -86∙х1х3 =

= (х2 + 12∙х1 -∙4∙х3- 25∙х1² - х3² + 10∙х1х3 = (х2 + 12∙х1 -∙4∙х3- (5∙х1 - х3 )² =

= ((х2 + 12∙х1 - 4∙х3 ) - (5∙х1 - х3 ))∙((х2 + 12∙х1 - 4∙х3 ) + (5∙х1 - х3 ))=

= (х2 + 12∙х1 - 4∙х3 - 5∙х1 + х3 )∙(х2 + 12∙х1 - 4∙х3 + 5∙х1 - х3 )=

= (х2 +7∙х1 -3∙х3 )∙(х2 +17∙х1 -5∙х3) = (7∙х1 + х2 - 3∙х3 )∙(17∙х1 + х2 - 5∙х3) = 0.

Т.о. касательные: 7∙х1 + х2 - 3∙х3 = 0 и 17∙х1 + х2 - 5∙х3 = 0.

ВТQВ=(18:13:6)∙ = (17:-18:-12) ∙ =0 В КВП.

Уравнение касательной:

ВТQХ = ( 18 : 13 : 6 )∙ = 0 ( 17 : -18 : -12 )∙ = 17∙х1 -18·х2 - 12∙х3 = 0.

 

 

Полюс и поляра

 

Рассмотрим овальную квадрику ХТ∙Q∙Х = 0 и точки А и В не принадлежащие квадрике.

Пусть M и L точки пересечения квадрики и прямой (АВ).

Определение: Если (AB,ML)=-1, то говорят что овальная квадрика гармонически разделяет пару АВ, или точки А и В гармонически сопряжены относительно овальной квадрики.

 

На прямой (АВ) рассмотрим репер R(A,B,M), тогда в этом репере и точки А , В , М и пусть точка L .

Если (AB,ML)= -1, тогда = -1 α = 1 и β = -1 , т.е. L .

Таким образом, М = А+В и L = А – В.

Значит, для точек пересечения прямой (АВ) с квадрикой .

Но являются корнями уравнения λ²∙а + 2∙λμс + μ²∙b=0,

где а = АТQА, b = ВТQВ, с = А ТQВ = ВТQА.

По теореме Виета сумма корней равна среднему коэффициенту, взятому с противоположным знаком: + = - с с = 0 АТQВ = ВТQА = 0 - условие гармонической сопряженности точек А и В относительно квадрики.

Фиксируем точку А КВП. Рассмотрим все прямые проходящие через эту точку в каждом случае будет своя точка В гармонически сопряженная с А относительно овальной квадрики. Сделаем точку В переменной, по условию гармонической сопряженности точек относительно овальной квадрики получим: АТQХ =0 - это уравнение I степени, то есть прямая, причем это прямая единственна. Эту прямую будем называть полярой точки А. Если точка А КВП, то уравнение АТQХ =0 определяет касательную к квадрике в точке А.

Определение: Полярой точки А называется прямая, состоящая из точек гармонически сопряженных с данной точкой относительно овальной квадрики.

 

Вывод: Полярой точки А является прямая, которая имеет уравнение: АТQХ =0 и

в случае А КВП является касательной к овальной квадрике,

в случае А КВП состоит из точек гармонически сопряженных с точкой А относительно овальной квадрики.

Определение:Уравнение АТQХ =0 называется уравнением поляры точки А относительно овальной квадрики.

Если уравнение прямой аХ=0, тогда λа = АТQ (с точностью до пропорциональности).

λа =АТ∙Q λа∙Q-1 =АТ∙Q∙Q-1 μАТ= а∙Q-1 или μА= Q-1 аТ

(Почему существуетQ-1 и почему (Q-1)Т= Q-1 ? )

Вывод: Для любой прямой существует точка, для которой эта прямая является полярой относительно квадрики.

Определение: Точка, для которой данная прямая относительно овальной квадрики является полярой, называется полюсом прямой.

Свойства:

1. Если точка А внешняя по отношению к овальной квадрике, то ее поляра проходит через точки касания касательных проведенных из точка А к КВП.

Доказательство. Координаты точек касания Х1 и Х2 находятся из системы , первое уравнение это уравнение квадрики, второе уравнение это уравнение поляры, а значит это точки пересечения поляры и квадрики. □

2. Если точка и прямая инцидентны, то их поляра и полюс тоже инцидентны.

Доказательство. Пусть а – поляра точки А и В - полюс прямой b,

значит λа =АТQ и μВ= Q-1 bТ. Докажем, что А b B a.

Уравнение прямой bХ = 0, тогда А b bА =0.

Найдем аВ=(АТQ)∙(Q-1b)=АТ∙(QQ-1)∙bТТ∙Е∙bТТbТ=(Аb)Т=0 - это означает, что точка В лежит на прямой а. □

Замечание: Свойство 2 позволяет находить полюс прямой. Выбрав на данной прямой две любые точки и построив их поляры, точка их пересечения будет полюсом данной прямой.

Задача. Дана квадрика х1² - 2∙х2²+ 4∙х2х3 =0 . Найти уравнение поляры для А и координаты полюса прямой b: х1+х22∙х3=0.

Решение. Q= Q-1=

λа=АТQ=( 1: 3 :-1) ∙ =(1 :-8: 6) х1 -8∙х2+6∙х3=0.

μВ=Q-1bТ= = В= .

Задача. Дана квадрика 2х1² + х3² - 2х1х2 -2х1х3 =0 . Найти уравнения касательных к квадрике из точки А .

Решение. Воспользуемся свойством (1). Q= . Найдем уравнение поляры.

λа = АТQ=( 1: 8 : 5 )∙ =( -11 : -1 : 4 ) 11∙х1 + х2 - 4∙х3 =0.

Найдем точки пересечения квадрики поляры.

D=100–96 = 4 и . и

В и С - точки пересечения поляры и квадрики, тогда прямые (АВ) и (АС) будут касательными.

(АВ) : =0 - 7∙х1 - х2 + 3∙х3 =0.

(АС) : =0 17∙х1 + х2 - 5∙х3 =0.

Определение: Трехвершинник называется автополярным относительно овальной квадрики, если каждая его вершина является полюсом противоположной стороны.

Замечание: Автополярных трехвершинников может быть много.

Теорема. Для того чтобы уравнение овальной квадрики было каноническим необходимо и достаточно, чтобы ΔЕ1Е2Е3 был автополярным относительно данной квадрики.

Доказательство. Необходимость:

Дано q11 х1² + q22х2² + q33х3² =0 .

Доказать что ΔЕ1Е2Е3 автополярный трёхвершинник.

Достаточность: Найти матрицу Q , используя то, что точка Е1

является полюсом прямой (Е2Е3 ) и т.д. (самостоятельно).

Определение: Четырехвершинник называется вписанным в овальную квадрику, если его вершины инцидентны квадрике.

Теорема. Если четырехвершинник вписан в овальную квадрику, тогда диагональный трехвершинник является автополярным относительно квадрики.

Доказательство. Пусть АВСD – четырёхвершинник вписанный в овальную квадрику и ΔPQR - диагональный трёхвершинник.

Докажем, что Р - полюс прямой (QR).

По гармоническим свойствам полного четырехвершинника гармоническими будут: (CB,PK)=(AD,PN)= -1, т.е. точки K и N гармонически сопряжены с точкой Р относительно овальной квадрики, а значит они принадлежат поляре точки Р. В тоже время точки K и N лежат на прямой (QR) (QR) - поляра точки Р. Для точек Q и R доказательство аналогично. □

Замечание: Эта теорема позволяет строить поляру точки если она не инцидентна овальной квадрике.

 



Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 307;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.027 сек.