Теорема Паскаля и ее предельные случаи


Определение: Шестивершинником называется совокупность шести различных упорядоченных точек А1, А2 , А3 , А4 , А5 , А6 , среди которых никакие три не лежат на одной прямой, и прямых (А1А2), (А2А3), (А3А4), (А4А5), (А5 А6), (А6А1). Точки называются вершинами, прямые называются сторонами.

Определение: Пары прямых:(А1А2) и (А4А5), (А2А3) и (А5 А6), (А3А4) и (А6А1) - называются противоположными сторонами.

Определение: Шестивершинник называется вписанным в овальную квадрику (или паскалевым), если его вершины принадлежат квадрике. Иногда говорят – шестивершинник, инцидентный квадрике.

Теорема Паскаля. Для того чтобы шестивершинник был инцидентен квадрике необходимо и достаточно, чтобы противоположные стороны шестивершинника пересекались в трех точках инцидентных одной прямой.

Замечание: Другая формулировка теоремы: для того чтобы шестивершинник был паскалевым необходимо и достаточно, чтобы противоположные стороны пересекались в коллинеарных точках.

А1 , А2 , А3 , А4 , А5 , А6 КВП P, Q, R – коллинеарны, где (А1А2)∩(А4А5)=P

(А2А3)∩(А5А6)=Q

(А3А4)∩(А6А1)=R

Доказательство. Пусть даны шесть точек А1 , А2 , А3 , А4 , А5 , А6 инцидентных квадрике, среди которых никакие три не коллинеарны.

Обозначим: (А1А2)∩(А4А5)=P,

(А2А3)∩(А5А6)=Q,

(А3А4)∩(А6А1)=R.

Через пять точек всегда проходит единственная квадрика.

Докажем, что принадлежность точки А6 квадрике коллинеарности точек P, Q, R.

Рассмотрим репер R(А1, А2, А3, А4), пусть в этом репере точки А5 и А6 . Тогда уравнение квадрики: с3∙(с2 - с1)∙х1∙х2 + с2∙(с1 - с3)∙х1∙х3 + с1∙(с3 - с2)∙х2∙х3=0 .

Точка А6 КВП с3∙(с2 - с1)∙d 1 ∙d 2 +с2∙(с1 - с3)∙d 1 ∙d 3 +с1∙(с3 - с2)∙d 2 ∙d 3 =0.

Найдем координаты точек P, Q, R в репере R(А1, А2, А3, А4).

Так как точки А1, А2, А3 - базисные, то уравнения координатных

прямых будут: (А1А2) - х3=0, (А1А3) - х2=0, (А2А3) - х1=0.

Уравнения прямых:

(А3А4) → =0 - х1 + х2 = 0,

(А4А5) → =0 (с2с3)∙х1+(с3с1)∙х2+(с1- с2)∙х3=0,

(А5А6) → =0

(с2∙d3 с3∙d2)∙х1 + (с3∙d1 с1∙d3)∙х2 + (с1∙d2 - с2∙d1)∙х3 = 0,

(А6А1) → =0 - d3∙х2 + d2∙х3 = 0,

Р=(А1А2) ∩ (А4А5) →

Q=(А2А3) ∩ (А5А6) →

R=(А3А4) ∩ (А6А1) → .

Тогда координаты точек P , Q , R .

Запишем условие коллинеарности точек: =0

d2∙(с2-с3)∙(с3 d11 d3)-d2∙(с1-с3)∙(с3 d11 d3)+d3∙(с1-с3)∙(с2 d11 d2)=

=d2∙(с3 d1 - с1 d3)∙(с2 - с3 - с1 + с3) + d3∙(с1 - с3)∙(с2 d1 - с1 d2) = d2∙(с3 d1-с1 d3)∙(с2- с1)+d3∙(с1-с3)∙(с2 d1 -с1 d2)=

d2с3 d1с2 - d2с1 d3с2 – d2с3 d1с1 + d2с1 d3с1+ d3с1с2 d1 – d3с3с2 d1 - d3с1с1d2 + d3с3с1 d2 =

= d2d1∙(с3с2 - с3с1) - d2d3∙(с1с2 - с3с1) + d3d1 ∙(с1с2 - с3с2) =

= d2d1с3∙(с2 1) + d2d3с1∙(-с23)+d3d1с2∙(с1 - с3) =0 .

Т.о. условие коллинеарности точек P,Q,R условию А6 КВП. □

Замечание: Частным случаем теоремы Паскаля является теорема Паппа.

 



Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 302;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.011 сек.