Задачи на построение
Задача 1. Дана овальная квадрика и точка Р ей не инцидентная. Построить поляру точки Р.
Решение. Пусть для определенности Р – внешняя точка. Необходимо восстановить какой-либо четырёхвершинник инцидентный овальной квадрике, так чтобы точка Р была одной из диагональных точек. Через точку P проводим две произвольные прямые а и b так чтобы они пересекали квадрику: а ∩ КВП =А, В, b ∩ КВП = С, D.
АВСD - является вписанным четырехвершинником и точка P является диагональной точкой. Строим две другие диагональные точки: (АС)∩(ВD)=Q, и (АD)∩(ВС)=R.
Прямая (RQ) является полярой.
Замечание: В некоторых случаях одну из диагональных точек построить сложно, она может выйти за пределы чертежа. В этом случае можно построить ещё один какой-либо четырехвершинник вписанный в овальную квадрику.
Замечание: Если P – внутренняя точка построение аналогичное.
Задача 2. Дана овальная квадрика и прямая а. Построить полюс прямой.
Решение. Воспользуемся свойством (2).
На прямой а возьмем две различные точки В и С, построим их поляры - b и с (см. пред. задачу).
b ∩ с = А – полюс прямой а .
Задача 3. Дана овальная квадрика и точка А ей инцидентная, построить поляру точки.
Решение. Поляра точки в этом случае будет касательной.
Воспользуемся свойством (2): если через точку А провести какую-либо прямую b, то её полюс – В пройдет через поляру точки А.
Построение полюса прямой – задача 2.
Задача 4. Дана овальная квадрика и точка А. Через точку А провести касательную к квадрике.
Решение.
1. А - внутренняя точка - касательных нет.
2 А КВП – касательная является полярой (см. задачу 3).
3. А - внешняя точка - касательные две. По свойству (1), если а поляра точки А, тогда а ∩ КВП = В и С - эти точки являются точками касания. Т.е. (АВ) и (АС) - касательные.
Задача 5. Дана овальная квадрика и прямая а , касающаяся квадрики, построить полюс прямой.
Решение. Полюс прямой в этом случае будет точкой касания.
Воспользуемся свойством (2). Если на данной прямой а взять какую-либо точку В, то её поляра – b пройдет через полюс прямой а.
Построение поляры точки – задача 1.
Теорема Штейнера
Теорема Штейнера. Рассмотрим на проективной плоскости два пучка П(О1) и П(О2), причем О1 ≠ О2. Если существует проективное, но не перспективное отображение f : П(О1) → П(О2), тогда множество точек пересечения соответствующих друг другу прямых пучков образует овальную квадрику проходящую через точки О1 и О2 . При этом касательная к квадрике в точке О1 является прообразом прямой (О1О2), а касательная в точке О2 является образом прямой (О1О2).
Доказательство. Пусть f - проективное, но не перспективное отображение пучка в пучок f : П(О1) → П(О2).
Обозначим: (О1О2)= т, т.к. f - не перспектива, то f (т) ≠ т и f -1(т) ≠ т.
Пусть: f (т)=т′ и f -1(т)=п, т.о. прямые т, т′, п - попарно различны.
f : п → т и f : т → т′ - две пары прямых есть, для задания отображения нужны три пары прямых. Возьмем ℓ П(О1) ( ℓ≠т и ℓ≠п ), пусть : f (ℓ)= ℓ′ О1 = п ∩ т, О2= т ∩ т′,
Пусть п ∩ т′= О3, ℓ ∩ ℓ′=Е.
Все прямые попарно различны, значит точки не лежат на одной прямой. В этом случае точки могут образовывать репер на проективной плоскости: R (О1 , О2 , О3 , Е)
Пусть Х произвольная точка на плоскости и ее координаты в этом репере.
Обозначим: (О1 Х) = р, (О2 Х) = q,
Е1= ℓ ∩ т′, Е2= п ∩ ℓ′, Х1= р ∩ т′, Х2= п ∩ q.
По определению сложного отношения прямых пучка:
для пучка П(О1) → (тп,ℓр)=(О2О3,Е1Х1),
для П(О2) → (т′т,ℓ′q)=(О3О1, Е2Х2).
Т.к. Е1 и Х1 – проекции точек Е и Х на (О2О3) , тогда по теореме о проекциях: Х1 и в репере R (О2 , О3 , Е1) → Х1 (О2О3 , Е1Х1) = .
Так как Е2 и Х2 – проекции Е и Х на (О1О3) , тогда по теореме о проекциях:
Х2 и в репере R (О1 , О3 , Е1) → Х2 (О1О3 , Е2Х2) = .
Тогда (тп,ℓр)=(О2О3,Е1Х1)= , (т′т,ℓ′q)=(О3О1,Е2Х2)= .
Если точка Х является точкой пересечения соответствующих прямых пучков, то есть f (р) = q, тогда в силу проективности отображения f : (тп,ℓр)=(т′т,ℓ′q) =
х3² - х1∙х2 = 0 – уравнение овальной квадрики, а значит точка Х принадлежит некоторой квадрике.
Если точка Х не является точкой пересечения соответствующих прямых пучков (f (р)≠q), тогда
(тп,ℓр)≠(т′т,ℓ′q) ≠ х3² - х1∙х2 ≠ 0 , а значит, точка Х КВП.
Если точка Х инцидентна прямым (О1О2), (О1О3) или (О2О3), то для принадлежности квадрике она должна совпадать или с О1 или с О2 .
Найдем касательную к квадрике в точке О1 .
Матрица квадрики Q = . Касательная: О1Т ∙Q∙Х=0.
∙ ∙ =0 ∙ =0 х2 = 0 – это уравнение координатной прямой (О1О3)= п .
Аналогично находится касательная в точке О2 : х1 = 0 – это уравнение (О2О3)= т′.
Т.о. при таком проективном отображении прообраз прямой (О1О2) является касательная в точке О1 образом прямой (О1О2) является касательная в точке О2. □
Обратная теорема. Пусть даны овальная квадрика и точки О1, О2 принадлежащие ей. Тогда для любой точки А КВП отображение f : П(О1) → П(О2), такое, что f : (АО1) → (АО2) - является проективным, но не перспективным отображением. Причем касательная к квадрике в точке О1 является прообразом прямой (О1О2), а касательная в точке О2 является образом прямой (О1О2).
Замечание: Если отображение f – перспектива, то все точки пересечения соответствующих прямых (образов и прообразов) лежат на одной прямой – оси перспективы. Прямая соединяющая центры пучков отображается сама в себя. Таким образом, квадрика является вырожденной - парой совпавших прямых (ось перспективы и прямая (О1О2)).
Вывод: Если дано проективное отображение f : П(О1) → П(О2), тогда множество точек пересечения соответствующих прямых пучков является КВП.
Если f : П(О1) → П(О2), - не перспективное отображение, то КВП овальная.
Если f : П(О1) → П(О2), - перспективное отображение, то КВП вырожденная.
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 353;