Взаимное расположение прямой и квадрики


Пусть дана овальная квадрика Х ТQХ =0 и прямая (АВ).

Взаимное расположение прямой и квадрики будет зависеть от решения системы:

Если существует решение, тогда квадрика и прямая пересекаются.

Если решения не существует, тогда квадрика и прямая не пересекаются.

Параметрическое уравнение прямой подставим в уравнение квадрики.

(λА Т+ μВ Т)∙Q∙(λА + μВ) =0 λ²∙А ТQА +λμА ТQВ+μλВ ТQА +μ²∙В ТQВ = 0

Каждое из выражений А ТQА , А ТQВ , В ТQА , В ТQВ является числом,

так как матрицы Q, А , А Т,В , В Т- заданы.

(АТQВ)Т = ВТQТАТТТQА, но АТQВ - это число, а значит (АТQВ)Т=АТQВ, т.е. АТQВ=ВТQА.

Обозначим АТQА = а, ВТQВ= b, АТQВ = ВТQА = с,

Тогда получим: λ²∙а + 2∙λμс + μ²∙b = 0 - однородное уравнение, разделим на μ² (параметры уравнения прямой λ и μ одновременно не обращаются в 0, хотя бы один их них отличен от 0).

- квадратное уравнение относительно .

D =4∙с² - 4∙аb = 4∙(АТ∙QТВ) ² - 4∙( АТQА)( В ТQВ).

Как известно, квадратное уравнение может иметь два, или один, или ни одного корня в зависимости от дискриминанта.

При D > 0, две точки пересечения, т.е. прямая будет секущей;

при D = 0, одна точка пересечения, т.е. прямая будет касательной к квадрике;

при D< 0, точек пересечения прямой и квадрики нет.

Замечание: Аналогично можно рассматривать систему . Выражая одну из переменных через две другие и подставляя в уравнение квадрики, получим однородное уравнение второй степени от двух переменных. Решая аналогичным способом, итоговый результат будет тем же.

Вывод: Прямая может не иметь общих точек с квадрикой, может касаться её или быть секущей. Других вариантов нет.

 

Задача. Установить взаимное расположение квадрики х1²+х2² 3²-2∙х1х2 -4∙х1х3=0 и прямой, проходящей через точки А и В .

Решение. Первый способ: Q= - матрица квадрики, тогда

а =АТQА = = 12

b= ВТQВ= = 4

с = А ТQВ = = -8,

и

Одно решение λ1=1 и μ1= 3 Х1 = 1 + 3 = = .

Второе решение λ2=1 и μ2=1 Х2 = 1 + 1 = = .

Прямая пересекает квадрику в двух точках Х1 и Х2.

Второй способ: Найдем уравнение прямой (АВ):

=0 - 2х1 +2х2 -2х3 = 0 х1 - х2 + х3 = 0.

Решим систему

Х1= и Х2= - точки пересечения (АВ) и КВП

 



Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 272;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.013 сек.