Взаимное расположение прямых на плоскости.

Каноническое уравнение	Общее уравнение Ax+ By+ C= 0	Уравнение с угловым коэффициентом y= kx+ b
Параллельность
Перпендикулярность
Угол между прямыми

Кривые второго порядка.

Общее уравнение . Будем рассматривать окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

Окружность.

Определение: Окружностью называют множество точек плоскости, удаленных от заданной точки (центра окружности) на заданное расстояние (радиус окружности).

Пусть центр окружности С (а, b) и радиус равен R, т. М (х, у)- текущая точка.

b

а

у

х

По определению │СМ│=R.

,

- нормальное уравнение окружности.

Если центр окружности находится в начале координат, т.е. С(0;0). Отсюда следует, что - каноническое уравнение окружности.

Замечание:

1) Если в общем уравнении кривой второго порядка отсутствуют произведения x, y и коэффициенты при x² и y² равны, то это обязательно уравнение окружности, которое можно получить, выделяя полные квадраты по каждой переменной.

2) Может оказаться, что после выделения полных квадратов уравнение окружности примет вид , центр окружности С(а,b), а радиус R= 0. Это уравнение вырожденной окружности. Может оказаться, что - мнимая окружность (без рисунка).

3) Через любые три точки, не лежащие на одной прямой можно провести единственную окружность.

Эллипс.

Определение: Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов), есть величина постоянная, равная 2а, большая, чем расстояние между фокусами.

Расположим эллипс так, чтобы фокусы находились на оси ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. Обозначим расстояние между фокусами │F₁F₂│=2c.

y

c

-c

F2

F1

M(x, y)

x

F₁ (-c, 0) - левый фокус, F₂ (с, 0) - правый фокус.

т. М (х, у)- текущая точка эллипса.

По определению: │F₁ M│+│F₂M│=2a.

Возведем обе части в квадрат:

- каноническое уравнение эллипса.

Для построения проанализируем это уравнение:

1) Т.к. уравнение четно по х и у, то эллипс симметричен относительно осей ОХ и ОУ, поэтому достаточно будет построить эллипс в первой четверти и сделать симметрию относительно осей координат.

Выразим из канонического уравнения у через х:

-

а

-а

-

+

2) Найдем у(0)= b, y(a)= 0. С ростом х, уменьшается у.

Отрезок [0, а] на ОХ - большая полуось, [0, b] - малая полуось эллипса.

т. (а, 0) - правая вершина, т. (-а, 0) - левая вершина, т. (0, b) - верхняя вершина, т. (0, -b) - нижняя вершина, с - фокусное расстояние.

Так как a²-c²= b², то c²= a²-b²- соотношение, связывающее три параметра эллипса.

Определение: Мерой сжатия эллипса является эксцентриситет: .

Для эллипса: 0< <1.

Если эксцентриситет стремится к 0, то эллипс будет стремиться к окружности. Если эксцентриситет стремится к 1, то эллипс будет стремиться к отрезку.

Гипербола.

Определение: Гиперболой называют множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а, меньшая, чем расстояние между фокусами, но больше 0.

Расположим гиперболу так, чтобы фокусы находились на оси ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат.

│F₁F₂│=2c.

y

c

-c

F2

F1

M(x, y)

x

F₁ (-c, 0) - левый фокус, F₂ (с, 0) - правый фокус.

т. М (х, у)- текущая точка гиперболы.

По определению: │F₁ M│-│F₂M│=2a.

- каноническое уравнение гиперболы.

Исследуем это уравнение:

1) Так как уравнение чётно по х и по у, то гипербола симметрична относительно осей ОХ и ОУ. Следовательно, построим ее в первой четверти и сделаем симметрию относительно осей координат.

Выразим из уравнения у:

Так как x²- a² ≥ 0, тогда (х-а) (х+а) ≥ 0.

+

+

-

-а

а

х

2) При x= a: y= 0. При возрастании х, увеличивается у. При х гипербола стремится к прямой .

c

F2

F1

a

A

-a

B

b

b

x

y

-c

т. А (а, 0) - правая вершина гиперболы, т. В (-а, 0) - левая вершина.

- асимптота.

- осевой прямоугольник.

[0, а] - на ОХ действительная полуось гиперболы.

[0, b] - на ОУ мнимая полуось.

с - фокусное расстояние.

с²= а²+ b² - соотношение для гиперболы.

Мера сжатия эксцентриситет . Так как а < с, отсюда следует, что ε> 1.

Парабола.

Определение: Параболой называют множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы).

Расположим параболу так, чтобы начало координат находилось посредине между F и директрисой, причем фокус лежал на оси ОХ.

Обозначим расстояние между F и директрисой - p.

Фокус: F( ).

уравнение директрисы: х= .

т. М (х, у) - текущая точка параболы.

y

N( )

F

M(x, y)

х

По определению параболы: │FM│=│NM│.

- каноническое уравнение параболы.

Анализ:

Так как уравнение четно по у, то парабола симметрична относительно оси ОХ.

При х= 0: у= 0. С возрастанием х, увеличивается у.

P - параметр параболы.

т. О(0,0) - вершина.

: ось симметрии - ось ОХ, p > 0 -график ; p < 0- график .

Аналогично можно вывести каноническое уравнение параболы с осью симметрии ОУ.

: ось симметрии – ось ОУ, p > 0 –график ; p < 0- график .