Прямая на плоскости.

Аналогично тому, как выводились канонические уравнения прямой в пространстве выводятся канонические уравнения прямой на плоскости.

М (х, у)

l=(m, n)

а

М0(х0, у0)

М₀М ║l. Отсюда следует, что - каноническое уравнение прямой на плоскости, где l=(m, n) - направляющий вектор прямой.

.

.

x= mt+ x₀

y= nt+ y₀ - параметрические уравнения прямой на плоскости.

M(x, y)

l

M2(x2, y2)

М1(x1, y1)

а

M₁M║M₁M₂. Отсюда следует, что - уравнение прямой через две точки.

Если в каноническом уравнении знаменатели m≠0, n≠0, то можно освободиться от знаменателей:

, , .

-общее уравнение прямой на плоскости.

N= (A, B) - нормаль, перпендикулярная прямой.

Проверка: N= (A, B)= (n, -m), l= (m, n), N•l= m· n- n· m= 0.

⇒ N ^ l. Отсюда следует, что N ^ прямой.

l= (m, n)

N=(A, B)

Исследуем общее уравнение:

1) А=0, B и С≠ 0, т.е. нет х. Прямая параллельна ОХ.

x

у

а

y= const - уравнение прямой параллельной оси ОХ.

2) В=0, А и С≠ 0, т.е. нет у. Прямая параллельна ОУ.

у

х

а

х= const - уравнение прямой параллельной оси ОУ.

3) С=0, А и В ≠ 0: Ах+Ву=0, т.е. т. О(0, 0) принадлежит прямой. Прямая проходит через начало координат.

у

х

а

4) у=0 - уравнение оси ОХ. х=0 - уравнение оси ОУ.

Пусть прямая отсекает на координатных осях отрезки: a - на оси ОХ и b - на оси ОУ.

A(a, 0)

В(0, b)

b

у

х

а

Прямая проходит через две точки A(a, 0) и В(0, b).

Уравнение: .

, ,

b(x-a)= -ay, bx- ab+ ay=0, bx+ ay- ab=0, bx+ ay= ab│: ab,

- уравнение прямой в отрезках.

Если в каноническом уравнении , m≠ 0, то выразим у:

- уравнение прямой с угловым коэффициентом (k).

Выясним смысл k и b.

Из треугольника: tg α= , tg α= k.

Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси ОХ.

Так как y(0)=b, то b - отрезок, отсекаемой прямой на оси ОУ.

Через любую точку плоскости проходит бесконечное множество прямых.

Такое множество прямых, проходящих через точку, называется пучком прямых.

Уравнение пучка прямых: .

Задавая различные значения угловых коэффициентов k можно выбирать различные прямые из пучка.

Пример. Вывести формулу для вычисления расстояния от точки до прямой .