Векторное произведение двух векторов.

Определение: Векторным произведением a´b векторов a и b называется третий вектор с, обладающий следующими свойствами:

1° │с│=│a│·│b│·sin φ, где Ðj= a,b;

2° вектор c ^ a, c ^b, т.е. с ^ плоскости, в которой лежат вектора а и b;

3° кратчайший поворот от вектора a к b, видимый с конца вектора с будет против часовой.

Свойства векторного произведения:

1° антикоммутативность: a´b= - b´a.

a´b= с, b´a= -с.

2° (λa)´b= λ (a´b).

3° a´(b + с)= a´b + a´с.

4° a ´ а= 0.

│ a ´ а │=│a│·│а│sin 0°= 0. Отсюда следует, что a ´ а= 0.

Векторные произведения координатных ортов.

i

k

j

Если первый орт умножить векторно на второй орт, то по стрелке получим третий орт, причем взятый с «+», если поворот против часовой стрелки, и берется с «-», если по часовой стрелке.

i´j= k,

i´k= -j,

j´k= i,

j´i= -k,

i´i= 0.

Векторное произведение в координатной форме.

a´b= (a_xi + a_yj + a_zk)×( b_xi + b_yj + b_zk)= a_x b_x i× i + a_x b_y i× j + a_x b_z i ×k +

+a_y b_x j×i + a_y b_y j×j + a_y b_z j×k + a_z b_x k×i + a_z b_y k× j + a_z b_z k×k=

= a_x b_y k – a_x b_z j- -a_y b_x k+ a_y b_z i+ a_z b_x j - a_z b_y i=

= i(a_y b_z - a_zb_y )- j( a_x b_z - a_z b_x)+ k(a_x b_y - a_y b_x )=

=i - j + k .

.