Смешанное произведение в координатной форме.

Возьмем три вектора в координатной форме:

а= (а_х, а_у, а_z)= a_xi + a_yj + a_zk;

b= (b_x, b_y, b_z)= b_xi + b_yj + b_zk;

с= (с_x, с_y, с_z) = c_xi + c_yj + c_zk.

abc= (a´b)• с.

.

Приложения смешанного произведения.

1) Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех векторах как на ребрах.

V_парал= │abc│.

Из геометрии: V_парал= S_осн· h.

S_осн= S_пар=│a´b│.

Из приложения векторного произведения:

h=│с│·cos φ.

V_парал= │ a´b │·│c│·cos φ =│(a´b) • с│=│abc│.

Следствие: высота параллелепипеда h= .

2) V_тетр= V_парал= │abc│.

Из геометрии: V_тетр= S_осн· h; h_тетр= .

3) Если смешанное произведение abc>0, то тройка векторов правая; если abc<0, то тройка векторов левая.

abc= (a´b) • с = │a´b│·│c│·cos φ.

abc>0, cos φ >0, Ðj- острый, abc - правая тройка.

abc<0, cos φ <0, Ðj- тупой, abc - левая тройка.

4) abc – компланарные, если параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости.

Условие компланарности: abc=0.

a´b ^ плоскости α.

a´b ^ с, (a´b) • с = 0 (условие перпендикулярности двух векторов), abc=0.