Сфера в пространстве.

Определение: Сферой называют множество точек пространства, равноудаленных от заданной точки (центр сферы) на заданное расстояние (радиус сферы).

Пусть центр сферы С(a, b, c), радиус R, т. М (х, у, z) - текущая точка сферы.

По определению: │СМ│= R.

M(x, y, z)

y

z

х

- нормальное уравнение сферы.

Если центра сферы - О(0, 0, 0), тогда

x²+ y²+ z²= R² - каноническое уравнение сферы.

Замечание:

В пространстве различают поверхности двух видов:

1) поверхности первого порядка Ax+ By+ Cz+ D= 0 (уравнение плоскости)

2) поверхности второго порядка

Ax²+ By²+ Cz²+ 2Dxy+ 2Fyz+ Kx+ My+ Nz+ L= 0.

Примером поверхности второго порядка служит сфера, остальные поверхности второго порядка: цилиндры, конусы, параболы и другие.

Скалярное произведение	Векторное произведение	Смешанное произведение
Определение
число   а•b=│а│·│b│cos φ	a´b= вектор с, что 1° │с│=│a│·│b│sin φ, где Ðj= a,b 2° вектор c^a, c^b, т.е. с ^ плоскости, в которой лежат вектора а и b. 3° кратчайший поворот от вектора a к b, видимый с конца вектора с будет против часовой стрелки.	число   аbc= (a´b) • с
Свойства
1° a • b = b • a 2° a • b= 0, т.к. a ┴ b 3° (λa)• b= λ(a• b) 4° a•(b + c)= a• b + a• c 5° а • а= │a│2	1° антикоммунитативность a´b= -b´a 2° (λa)´b= λ (a´b) 3° a´(b + с)= a´b + a´с 4° a ´ а= 0	1° abc= - bac= bca= ... 2° (λa)bc= λ(abc) 3° (a+ b) cd= acd+ bcd 4° ijk= (i×j)· k= k· k= │k│2= 1 ijk= 1
Вычисление в координатной форме
a•b= ax bx + ay by + az bz
Приложения
1) 2)Ðj - острый, cosj>0, отсюда следует: a•b> 0. Ðj - тупой, cosj<0, отсюда следует: a•b< 0. Ðj=90°, cosj=0, отсюда следует: a•b= 0. 3)	1) Sпар=│a ´ b│ 2) 3) a║b, отсюда следует, что │ a´b│= 0.	1) Vпарал= │abc│ 2) Vтетр= Vпарал Vтетр = │abc│ 3) если abc>0, то тройка векторов правая; если abc<0, то тройка векторов левая. 4) abc – компланарные: abc=0.