Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость

Параметрические уравнения прямой в

Пусть точка принадлежит прямой и ненулевой вектор лежит на прямой .Тогда можно составить систему уравнений

(1)

которая называется параметрическими уравнениями прямой в по точке и вектору . Число является в уравнениях (1) параметром, могущим принимать любое действительное значение. Вектор (как и любой вектор, параллельный прямой ) называют направляющим вектором прямой .

Пример 1. Запишем уравнения прямой, проходящей через точку и вектор . Подставив имеющиеся данные в уравнение (1), получим:

.

(2)

Пример 2. Записать уравнения прямой, проходящей через точки и .

Ясно, что направляющий вектор для можно задать так:

.

Пример 3. Записать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно векторам и .

Принимая во внимание теорему о векторном произведении векторов, направляющий вектор для можно вычислить следующим образом:

.

Следовательно, .

Выразив параметр из каждого уравнения системы (1), получим каноническое уравнение прямой прямой в по точке и вектору :

.

(3)

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Пусть дана точка , принадлежащая плоскости , и ненулевой вектор , ортогональный этой плоскости.

Составим уравнение плоскости. Для этого рассмотрим на плоскости "текущую" точку с переменными координатами и . Наложим на переменные и условие, которое, с одной стороны, даст возможность точке попасть в любую точку плоскости и, с другой стороны, не позволит точке выйти за пределы этой плоскости. Полученное соотношение и будет представлять собой уравнения плоскости . Имеем цепочку равносильностей:

.
Уравнение

(4)

называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору (термины "нормальный вектор", "ортогональный вектор", "перпендикулярный вектор" означают одно и то же). Если в полученном уравнении провести обычные алгебраические преобразования (раскрытие скобок и приведение подобных), то получим уравнение вида:

которое называют общим уравнением плоскости.

Пример 4. Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор . По формуле (4) имеем:

Уравнение плоскости по точке и двум векторам

Пусть дана точка , принадлежащая плоскости П, и два линейно независимых (неколлинеарных) вектора и , лежащих в этой плоскости. Составим её уравнение.

Очевидно, в качестве нормального вектора можно выбрать вектор . Взяв текущую точку и применяя рассуждения предыдущего пункта, получаем:

Уравнение

(5)

Называется уравнением плоскости по точке и двум векторам и .

Пример5. Доказать, что прямые и параллельны, но не совпадают, и записать уравнение плоскости, проходящей через и .

1)Направляющие векторы данных прямых соответственно равны и . Так как отношения соответствующих координат равны , то , то есть эти векторы линейно зависимы (коллинеарны). Значит, .

2)Теперь чтобы доказать, что и не совпадают, достаточно проверить, что точка, лежащая на одной прямой, не лежит на другой. Положив в первой системе, получаем точку . Покажем, что . Подставим координаты точки во вторую систему: . Эта система противоречива, поэтому .

3) Запишем уравнение плоскости, проходящей через и . Положив в параметрических уравнениях прямой , получим точку . Возьмем По формуле (5) получаем искомое уравнение плоскости:

Решим ещё несколько задач на прямую и плоскость в пространстве.

Пример 6. Найти точку , симметричную точке относительно плоскости .

1)Запишем уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно плоскости . Так как в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости

- , то параметрические уравнения имеют вид: .

2)Найдем точку пересечения прямой и плоскости . Для этого решим систему уравнений:

.

Таким образом, То есть, .

3) Пусть – точка, симметричная точке P относительно плоскости . Так как , то . То есть .

Пример 7. Найти точку Q, симметричную точке относительно прямой : .

1) Запишем уравнение плоскости , проходящей через точку P перпендикулярно прямой . Так как в качестве нормального вектора плоскости можно взять направляющий вектор прямой , который равен , то по формуле (4): .

2)Найдем точку пересечения прямой и плоскости . Решим систему уравнений:

Получаем: То есть .

2) Пусть – точка, симметричная точке относительно прямой . Так как , то . То есть .

Прямая в

Общим уравнением прямой на плоскости называется уравнение вида:

(6)

Если , то разрешая (6) относительно , получим уравнение прямой с угловым коэффициентом:

.

(7)

Таким образом, геометрический смысл числа состоит в том, что , где – угол, образованный прямой с положительным направлением оси . У параллельных прямых угловые коэффициенты равны ( ). У перпендикулярных прямых угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку . Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициентkи проходящей через точку ,записывается в виде:

.

(8)

Уравнение прямой, проходящей через две точки и , имеет вид: .