Используя формулы (10) и (11), находим

(12)

После соприкосновения груза со столом сила упругости Т обращается в нуль (нить должна в момент соприкосновения соскользнуть со шкива). Дальнейшее вращение маятника под действием сил трения в опоре становиться замедленным и описывается уравнением

(13)

Предполагая, что в течении всего времени вращения маятника момент сил трения в опоре не изменяется, т.е. , уравнение (13)можно проинтегрировать следующим образом

, (14)

где - угловая скорость в момент соприкосновения груза со столом, - промежуток времени от момента соприкосновения груза со столом до остановки маятника. Это время измеряется секундомером ЭС-2. Элементарное интегрирование приводит уравнение (14) к виду

. (15) Учитывая теперь, что , из (10) с помощью (11) находим

(16)

что после подстановки в (15) дает

(17)

Принимая во внимание соотношения (11), (12), (17) и вводя диаметр шкива , систему уравнений (8), (9) можно представить в виде

(18)

(19)

Уравнения (18) и (19) образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными I и Т. Все остальные входящие в них величины, за исключением g=9,8 м/с², определяются экспериментально в прямых измерениях.

Исключая из (19) с помощью (18) неизвестную Т, получаем формулу для измерения момента инерции крестообразного маятника относительно оси вращения

(20)

Изменяя массу подвешенного к нити груза, можно изменять силы упругости нити и трения в опоре (а, следовательно, и их моменты). Однако при этом, как следует из уравнения движения (9), при заданном расположении грузов m¢ на стержнях маятника или при их отсутствии отношение модулей суммарного момента сил и углового ускорения маятника должно оставаться неизменным, т.е.

Это следует из определения момента инерции как физической величины. Следовательно, если, проделав опыт с различными грузами m₁,m₂,m₃…, мы получим в результате расчетов по формуле (20) одинаковые значения моментов инерции маятника I₁,I₂,I₃…, то можно сделать заключение о справедливости уравнения вращательного движения маятника (9). При этом результаты косвенных измерений считаются одинаковыми в пределах погрешностей, т.е. I₁=I₂=I₃=…, если пересекаются их доверительные интервалы. Практически это легко установить, отложив на вещественной оси в выбранном масштабе средние значения , окруженные соответствующими доверительными интервалами , , …,

При проверки свойства аддитивности момента инерции (т.е. того, что момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерций любых частей этого тела относительно той же оси) и изучении характера зависимости момента инерции крестообразного маятника от распределения масс относительно оси вращения, будем обозначать момент инерции маятника без грузов m¢ на стержнях (рис.1.3.2) через , а с закрепленными на них четырьмя грузами – через . Тогда, пренебрегая размерами грузов по сравнению с размерами стержней, в соответствии со свойством аддитивности момента инерции можно записать

(21)

где l – расстояние от центра закрепленного на стержне груза до оси вращения, m¢ - масса одного груза. Как видно из рис.1.3.2,

(22)

где d –диаметр шкива, х – длина закрепленного груза, S – расстояние до ближайшего торца этого груза.

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики - М. Наука, 1988. т.1. - §§ 2,5, 36-43.

2. Савельев И.В. Курс общей физики - М. Наука, 1989. т.1. - §§ 5–8, 11-14, 28-34.