Разделив обе части этого выражения на (11), получим

(13)

Отношение есть относительная погрешность величины N. Из (12) следует

Введем величину

(14)

которая соответствует худшему для нас варианту оценки искомой величины N и представляет собой предельную абсолютную погрешность косвенного измерения. Тогда

Аналогично можно получить формулу предельной относительной погрешности косвенного измерения

(15)

На практике, рассчитывая погрешность косвенного измерения, значок “max” часто не пишут, однако всегда имеют в виду предельные погрешности, определяемые выражениями (14) и (15). Предельная абсолютная погрешность косвенного измерения вычисляется как дифференциал от по переменным А, В,…, причем производные вычисляются в точке, где частные дифференциалы берутся по абсолютной величине и роль дифференциалов dА, dВ, … играют погрешности прямых измерений Аналогичное правило можно сформулировать для вычисления предельной относительной погрешности косвенного измерения с той лишь разницей, что дифференциал следует брать не от , а от

Полученные нами формулы предельных абсолютной и относительной погрешностей косвенного измерения гарантируют при надежности, для которой мы вычисляем А, В, … прямых измерений доверительный интервал для косвенного измерения. Но этот интервал является “предельным”, завышенным. В теории ошибок существует метод сужения доверительного интервала косвенного измерения. Однако для целей учебной лаборатории достаточно ограничиться вычислением его предельного значения.

Остается лишь дать рекомендации, какой из формул – (14) или (15) – выгоднее пользоваться в конкретных случаях. Если косвенное измерение является алгебраической суммой прямых измерений, то удобнее вычислять абсолютную погрешность . Однако в большинстве случаев приходится иметь дело с более сложными функциональными зависимостями от А, В, … Тогда удобнее вычислять сначала относительную погрешность величины , а затем абсолютную, - умножив среднее значение величины на ее относительную погрешность (для записи окончательного результата нужна именно абсолютная погрешность).

Пример.

В качестве иллюстрации применения приведенных общих формул для расчета абсолютной и относительной погрешности косвенного измерения рассмотрим задачу экспериментального определения плотности вещества, из которого изготовлен параллелепипед.

В предположении однородности вещества параллелепипеда его плотность определяется формулой

(I)

где m масса параллелепипеда, а, b, с – соответственно его длина, ширина и высота. Величины m, а, b, с определяются в прямых измерениях, тогда как вычисляется по формуле (I), т.е. является результатом косвенного измерения. Аналитическая структура формулы (I) такова, что удобнее сначала вычислить относительную погрешность измерения, а затем относительную. Действительно, логарифмируя (I), получим

Тогда

(II)

Подставляя выражение (II) в (15), находим

(III)

где m, a, b, c – абсолютные погрешности соответствующих величин. Тогда абсолютная погрешность косвенного измерения вещества вычисляется по формуле

(IV)

где

ПРАВИЛА ЗАПИСИ И ВЫЧИСЛЕНИЙ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Все верные цифры приближенного числа, начиная с первой, отличной от нуля, называются значащими. Верными является цифры числа, стоящие в разрядах белее высоких, чем разряд первой отличной от нуля цифры его погрешности. Абсолютная погрешность не слишком ответственных измерений округляется до первой, отличной от нуля цифры. Если эта цифра единица, то ее часто уточняют, указывая следующую за ней цифру. Относительная погрешность округляется до первых двух цифр. В конечных результатах указываются все значащие цифры и первая сомнительная. Окончательные результаты записываются в нормальном виде, т.е. в виде произведения двух сомножителей, первым из которых является рассматриваемый результат, причем первая значащая цифра его написана в разряде единиц, остальные - в разрядах десятых, сотых и т.д. долей; вторым сомножителем является 10 в соответствующей степени. Примеры правильно записанных приближенных чисел:

Значащие цифры в приведенных приближенных числах подчеркнуты.

Точность приближенных чисел находится в прямом соответствия с количеством значащих цифр в этих числах. Нетрудно проверить, что относительная погрешность приближенных чисел, имеющих одну значащую цифру, изменяется в пределах от нескольких процентов до нескольких десятков процентов, имеющих 2-значащие цифры - от нескольких десятков долей процента до нескольких процентов, имеющих 3-значащие цифры - от нескольких сотых долей процента до нескольких десятых долей процента и т.д. В учебной лаборатории мы имеем дело с результатами измерений, а которых только одна, две, редко три цифры является значащими.

Рассматривая формулы предельных погрешностей, мы установили, что почти во всех случаях (за редкими исключениями) относительная погрешность косвенного измерения оказывается больше, чем относительная погрешность наименее точного из прямых измерений. Следовательно, количество значащих цифр в косвен­ном измерении не может быть большим, чем количество значащих цифр в наименее точном прямом измерении. Поэтому результаты прямых измерений и промежуточных вычислений рекомендуется округлять так, чтобы в них было на одну цифру больше, чем в наименее точном прямом измерении. Конечный ответ округляется в соответствии с его погрешностью. Однако еще до его вычисления из грубого предварительного анализа результатов прямых измерений может быть ясно, сколько в нем будет цифр.

ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

При построения графиков следует учитывать погрешности изображаемых величин, а также заботиться о том, чтобы их графическое представление не сообщило им дополнительных ошибок. Масштаб должен выбираться по возможности таким образом, чтобы 1) самое малое деление шкалы было одного порядка с погрешностью наносимой величины, 2) линия графика в своей средней части должна быть расположена под углом к координатным осям, близким к 45°. Вследствие имеющихся погрешностей каждый результат на графике представляет собой не точку, а целую область, прямоугольник. Поэтому линия графика должна быть плавной линией, преходящей в каком-либо месте через каждый такой прямоугольник. Примерный вид графика изображен на рисунке.

В некоторых случаях изобразить погрешность на графике нет возможности. Тогда она должна быть указана на соответствующей шкале.

Литература

1. Х.Н. Сотская Введение к физическому практикуму. Конспект лекций. – Мн.: МРТИ, 1973.

2. О.Н. Касандрова, В.В.Лебедев. Обработка результатов измерений. М.: Наука, 1970.

3. Л.З. Румшинский. Математическая обработка результатов эксперимента. – М.: Наука, 1971.