Вывод формулы Ньютона-Лейбница

Для нахождения определенного интеграла используют формулу Ньютона-Лейбница:
, где – первообразная функция для функции .

Докажем ее.

Рассмотрим тот же график и познакомимся с функцией переменной площади . Что это за функция? Зафиксируем произвольную точку (левая красная точка), лежащую между точками «а» и «бэ»:

В данной точке функция равна площади криволинейной трапеции, которая расположена между зелёной и синей линиями и заштрихована синим цветом. Мысленно начните уменьшать значение «икс» и сдвигать синюю прямую влево – площадь начнёт уменьшаться и, в конце концов, в точке станет равной нулю: (прямые совпадут). Теперь возвращаемся на исходную позицию и сдвигаем синюю линию вправо – в этом случае площадь начнёт расти. И когда мы достигнем верхнего предела (синяя прямая «закроет» красную), площадь будет равна в точности площади всей криволинейной трапеции: .

Таким образом, аргумент может изменяться в пределах , при этом функция (площадь) будет возрастать от до .

Докажем, что функция переменной площади является первообразной функцией для функции , то есть докажем, что .

Вернёмся к нашей точке «икс» и зададим в ней приращение (зелёная стрелка). Для определённости полагаем, что (случай доказывается аналогично). Приращение аргумента влечёт приращение функции – геометрически это площадь криволинейной трапеции, которая заштрихована голубым цветом.

По так называемой теореме о среднем, на отрезке существует точка «цэ» – такая, что площадь коричневого прямоугольника равна площади голубой трапеции:

По определению производной, производная функции – это отношение приращения функции к приращению аргумента при :
.

И, ввиду равенства :

(*) Так как , то точка «цэ» бесконечно близко приближается к точке «икс», и, соответственно:

Вспомним, что в предыдущей главе мы доказали, что площадь криволинейной трапеции – есть предел интегральной суммы: .

Но с другой стороны, .

И из этих двух фактов следует лаконичная формула Ньютона-Лейбница:
, где – первообразная функция для функции .