Распределение средней арифметической.

Пусть над генеральной совокупностью, имеющей нормальный закон распределения с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением , проводится n независимых наблюдений X₁, X₂, …, X_n, образующих систему независимых одинаково распределённых случайных величин с распределением . Тогда средняя арифметическая

является случайной величиной и имеет нормальное распределение с параметрами и , т.е. .

2. Распределение Пирсона ( - хи квадрат).

Если есть ряд независимых, нормированных, нормально распределённых случайных величин , то случайная величина

(3)

имеет распределение с степенями свободы, где единственный параметр этого распределения, характеризующий число независимых случайных величин в выражении (3).

Плотность вероятностей распределения «хи квадрат» имеет вид:

,

где - гамма-функция Эйлера.

При функция плотности убывает, а при имеет единственный максимум в точке . График функции плотности изображён на рисунке.

Основные числовые характеристики -распределения:

Математическое ожидание - ;

Дисперсия - ;

Мода - (существует только при );

Распределение Пирсона используется для построения доверительного интервала для генеральной дисперсии.

Для этого распределения составлены таблиц критических значений, в которых для различных значений приводятся числа, вероятность превышения которых наблюдаемой случайной величиной равна заданному значению уровня значимости .