Точечные оценки основных параметров распределений

,

где m – частота события А в выборке, а n – объем выборки.

Пусть по результатам n наблюдений построен вариационный дискретный ряд

Тогда средняя арифметическая и выборочная дисперсия вычисляются по формулам:

Отметим некоторые свойства этих величин:

1. Если все варианты увеличить в одно и тоже число k, то средняя арифметическая увеличится в k раз, а дисперсия в k² раз.

2. Если все варианты изменить на одно и то же число c, то средняя арифметическая изменится на это же число, а дисперсия своего значения не изменит

.

3. Если все частоты увеличить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая и дисперсия не меняются.

Из этих свойств легко получить, так называемые, формулы упрощённого вычисления:

(1)

(2)

Пример 1. Дано распределение 1000 экземпляров северной сосны по диаметру ствола:

Требуется вычислить среднюю арифметическую, выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение: Для вычисления применим формулы (1) и (2). Нам потребуется вариационный ряд данной выборки. В качестве вариант возьмём середины интервалов. Число с определим по наибольшей частоте. Все вычисления оформляются в таблице: c = 32, k = 4.

Интервалы	Середины интервалов xi	Частоты ni	xi - c
14-18			-16	-4	-64
18-22			-12	-3	-105
22-26			-8	-2	-218
26-30			-4	-1	-183
30-34
34-38
38-42
42-46
46-50
50-54
54-58
Итого:	-		-	-

.

Замечание: для того, чтобы изучаемое свойство генеральной совокупности адекватно отражалось в выборке, она должна иметь случайный характер. Этого можно добиться разными способами. Приведём примеры некоторых из них:

1. Собственно-случайная выборка.

Суть метода можно описать следующей схемой: члены генеральной совокупности предварительно занумеровывают, и каждый номер записывают на отдельные карточки. Отбирая наудачу после тщательного перемешивания по одной карточке, получим выборку нужного объёма. Номера карточек укажут, какие члены генеральной совокупности попали в выборку. Возможны два принципиально различных подхода к образованию такой выборки в зависимости от того, возвращается отобранная карточка обратно после регистрации её номера или нет. В первом случае выборка называется повторной, во втором – бесповторной.

2. Механическая выборка.

Выборка называется механической, если члены генеральной совокупности отбираются через определенный интервал. Например, для 10% выборки отбирается каждый десятый член генеральной совокупности, для 20% - каждый пятый и т.п.

3. Типическая выборка.

Если члены генеральной совокупности предварительно разбить на группы по какому-нибудь признаку (например при изучении качества изделий целесообразно выделить изделия, производимые разными цехами, сменами, станками и т.д.), а в каждой группе произвести собственно-случайную выборку, то получим выборку, которую принято называть типической.

4. Серийная выборка.

Если указанные выше группы (серии) рассматривать, как элементы новой совокупности и из них образовывать собственно-случайную выборку, то полученная из членов выбранных серий совокупность называется серийной выборкой.

При составлении случайной выборки допускаются ошибки двух видов:

- Ошибка регистрации –так называется разница между истинным и наблюдавшимся значениями изучаемого признака. Эта ошибка может носить случайный или умышленный характер. Последнее недопустимо в исследованиях. В случае же случайной ошибки, рекомендуется провести повторную выборку.

- Ошибка репрезентативности – расхождение характеристик признака в генеральной и выборочной совокупности, связанного со случайным характером выборки. Такая ошибка всегда присутствует и задача математической статистики как раз и состоит в оценке величины этой ошибки.