Экспоненциальное распределение

Экспоненциальный закон адекватно описывает распределение длительности жизни элемента, работающего в режиме нормальной эксплуатации, когда интенсивность отказа (коэффициент смертности) элемента в течение всего промежутка времени постоянна, равная . Ниже приводятся функция распределения, плотность вероятностей и числовые характеристики этого закона:

;

;

среднее: ;

мода: ;

медиана: ;

дисперсия: ;

Распределение, уравнение функции плотности которого имеет вид

,

называется двусторонним экспоненциальным распределением или распределением Лапласа. Числовые характеристики легко находятся:

среднее, мода и медиана равны 0;

дисперсия: .

Симметричная, унимодальная функция плотности этого закона с острым максимумом в точке часто используется для описания распределения случайных ошибок в моделях регрессионного типа.

Ниже опишем три закона необходимых для построения разного рода статистических критериев и интервальных оценок параметров:

6. «Хи-квадрат»-распределение Пирсона с степенями свободы ( ).

Если есть ряд независимых стандартно нормально распределённых случайных величин, т.е. для , то случайная величина

(2)

имеет распределение с степенями свободы, где единственный параметр этого распределения, характеризующий число независимых случайных величин в выражении (2).

Такие суммы квадратов случайных величин впервые исследовал немецкий астроном Ф. Хельмерт в связи с применением гауссовской теории ошибок. Английский математик, статистик К. Пирсон построил функцию распределения, которую впоследствии стали называть функцией распределения «хи-квадрат». Для отрицательных функция Пирсона , а для неотрицательных

(3)

где Г(х) – интеграл Эйлера 2-ого рода или гамма-функция

Г(х) = .

Соответствующая функция плотности вероятностей задаётся формулой:

(4)

При функция плотности постоянно убывает, а при имеет единственный максимум в точке . График функции плотности при различных изображен на рисунке 9.1.

Рис. 9.1. график функции плотности распределения

Основные числовые характеристики -распределения:

среднее: ;

мода: ;

дисперсия: ;

асимметрия: ;

эксцесс: .

В таблицах для различных значений приводятся числа, вероятность превышения которых случайной величиной равна заданному значению уровня значимости .

Распределение Пирсона используется для построения доверительного интервала для генеральной дисперсии.

7. Распределение Стьюдента с степенями свободы