Лекция 5. Независимые испытания. Формула Бернулли.

Пусть имеется некоторое пространство элементарных событий U.

Под испытанием будем, как и прежде, понимать осуществление некоторого комплекса условий, в результате которого может произойти одно из событий пространства U.

Математической моделью последовательности n испытаний является новое пространство U_n элементарных событий, состоящее из точек (e₁, e₂, …,e_n), где e_i – произвольная точка пространства U, отвечающая испытанию с номером i.

Например, если U = {E₁, E₂, …, E₆}, где Е_i – число очков на выпавшей грани игральной кости при одном подбрасывании. Тогда пространство U₃, соответствующее трем испытаниям, состоит из 6³ = 216 точек (е₁, е₂, е₃). Здесь е₁ - это одно из событий пространства U и принимает 6 значений. Тоже самое для е₂ и е₃.

Пусть при s-том испытании пространство U подразделяется на k попарно несовместных случайных событий, т.е.

Событие - назовем i-ым исходом при s-том испытании.

Обозначим , тогда . Рассмотрим сложное событие .

n – последовательных испытаний назовем независимыми, если

для любых .

Теорема 1. Если данные n испытаний независимы, то любые m из них так же независимы.

Теорема 2. Для того чтобы n последовательных испытаний были независимы, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

для любых чисел ,

В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда вероятности событий не зависят от номера испытания s. Обозначим в этом случае , .

В силу несовместности единственной возможности исходов имеем: . Эта схема была впервые рассмотрена Я. Бернулли при k = 2. У него:

Формула Бернулли

Итак, будем рассматривать независимые испытания, в каждом из которых имеется только два исхода: либо наступает событие А, либо противоположное событие . Причем наступление события А происходит каждый раз с одинаковой вероятностью p.

Применительно к этой схеме независимых испытаний, ставится задача определения вероятности того, что при n независимых испытаниях событие А наступит m раз, а остальные n-m раз наступит событие . Описанный результат испытаний обозначим через . Тогда это событие можно представить в виде суммы:

Слагаемые попарно несовместны и их число равно .

Вероятность каждого слагаемого равна . Тогда вероятность события B_m вычисляется по формуле Бернулли:

(1)

Рассмотрим обобщение формулы Бернулли. Пусть в каждом испытании может появиться одно из k несовместных событий A_i, и пусть P(A_i) = p_i. Поставим следующую задачу: Найти вероятность того, что событие А₁ появится m₁ раз, событие А₂ – m₂ раза, и т.д., событие А_k – m_k раз. При чем m₁+m₂+…+m_k = n. Тогда искомая вероятность равна

(2)

Примеры:

1) Статистикой установлено, что из тысячи родившихся детей в среднем рождается 485 девочек и 515 мальчиков. Найти вероятность того, что из пяти родившихся детей будет:

a) 3 девочки, б) не боле 3-х девочек, в) не менее двух и не более четырех девочек.

Решение: обозначим через А событие, состоящее в рождении девочки, а через m число родившихся девочек. Тогда:

а)

б)

в)

2)Проводится 10 бросаний игральной кости. Какова вероятность того, что один раз выпадет два очка, два раза три очка, четыре раза пять очков и три раза шесть очков?

Решение: Событие А_i – выпадение i очков при одном бросании игральной кости, i = 1,2, …, 6, m_i – число появления события A_i в 10 испытаниях. Тогда искомая вероятность вычисляется по формуле (2)