Формула полной вероятности


Пример 5.Детали поступают в О.Т.К. с двух конвейеров. Производительность второго конвейера вдвое больше первого. В каждой сотне деталей с первого конвейера в среднем две бракованные, а в каждой сотне деталей со второго – 3 бракованных.

Найти вероятность того, что взятая наудачу в О.Т.К. деталь бракованная.

Решение: Пусть событие А состоит в том, что взятая на проверку деталь оказалась бракованная.

Рассмотрим два предположения:

Событие H1 – взятая деталь изготовлена на первом конвейере.

Событие H2 – взятая деталь изготовлена на втором конвейере.

Тогда событие А можно подразделить на частные случаи

A = H1A+H2A.

Поскольку эти слагаемые несовместны, то

Из условия задачи ясно, что P(H1) = 1/3, P(H2) = 2/3, P(A/H1) = 0,02, P(A/H2)= 0,03. Тогда

P(A) = 0,08/3 = 2/75

Повторяя подобные рассуждения, легко доказать теорему.

Теорема 7.(О полной вероятности)

Вероятность события А, которое может наступить, если наступит одно из попарно несовместных событий Н1, Н2, …, Нn, образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события А.

- формула полной вероятности.

 

Формула Бейеса

 

Пусть имеется полная группа попарно несовместных событий Н1, Н2, …, Нn , вероятности каждого из которых до проведения опыта имели определенные значения.

Предположим, что в результате опыта наступило событие А. Наступление этого события может повлечь за собой изменение первоначальных вероятностей гипотез Нi. Поставим задачу отыскания вероятности P(Hi/A). Из теоремы умножения имеем:

.

Откуда находим

,

или записывая P(A) по формуле полной вероятности, получим

- формула Бейеса.

Пример 6. Пусть в условии предыдущего примера взятая в О.Т.К. деталь оказалась бракованной. Какова вероятность, что она изготовлена на первом конвейере?

Решение: Воспользуемся формулой Бейеса

.

Пример 7. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8, вторым – 0,4. После стрельбы обнаружена одна пробоина. Найти вероятность, что она принадлежит первому стрелку.

Решение: Пусть событие А – в мишени одна пробоина.

Событие В1 – в мишень попал 1-й стрелок, событие В2 – в мишень попал 2-й стрелок. Рассмотрим различные предположения:

- в мишень не попал ни первый, ни второй стрелок,

- оба стрелка попали в мишень,

- попал только первый стрелок,

- попал только второй стрелок.

, ,

, ,

, ,

, .

Искомая вероятность равна

.

 



Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 445;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.