Независимые события. Теорема умножения

Определение 2. Событие А независимо от события В, если его условная вероятность совпадает с безусловной, т.е.

P(A/B) = P(A)

Теорема 1. Если событие А независимо от события В, то и событие В не зависит от события А.

Действительно: .

Пример 3. В урне лежат3 белых и 5 черных шаров. Последовательно извлекают два шара. Сравним два события:

А – извлеченный шар во втором испытании – белый,

В – извлеченный шар в первом испытании – белый,

если

а) первый шар возвращают обратно в урну перед вторым испытанием,

б) первый шар не возвращают обратно в урну.

Тогда в случае

а) ; ;

Таким образом, P(A/B) = P(A), следовательно, события независимы.

б) , следовательно события А и В зависимы.

Теорема 3. Если события А и В независимы, то независимы и каждые два события

Определение 3. События А₁, А₂, …, А_n называются попарно независимыми, если независимы всякие два из них, т.е.

Определение 4. События А₁, А₂, …, А_n называются независимыми в совокупности или просто независимыми, если независимы каждое из них и любое произведение остальных, т.е.

Замечание: Из независимости в совокупности следует попарная независимость событий. Обратное утверждение неверно. Приведем пример Бернштейна:

Пусть грани тетраэдра окрашены в разные цвета: первая грань в красный цвет, вторая в зеленый, третья в синий, четвертая во все три цвета. Производится подбрасывание тетраэдра, который может упасть на одну из граней. Обозначим через события А, В, С падение тетраэдра, соответственно, на красны, зеленый или синий цвета.

Покажем, что события А, В, С попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.

,

,

Таким образом, события попарно не зависимы. Однако

.

Без доказательства сформулируем следующие теоремы.

Теорема 4. Если события А₁, А₂, …, А_n независимы в совокупности, то какова бы ни была группа , составленная из этих событий, вероятность наступления всех событий этой группы равна произведению вероятностей каждого из них, т.е.

.

Имеет место и обратная теорема.

Теорема 5. События А₁, А₂, …, А_n независимы в совокупности, если для любой группы событий

.

Пример 4. Вероятность попадания в цель из первого орудия равна 0,9, из второго – 0,8, из третьего – 0,7. Найти вероятность того, что при одновременном залпе из трех орудий, будет иметь место:

1). Одно поражение цели.

2). Хотя бы одно поражение цели.

Решение: Обозначим через событие А_i – поражение цели i-м орудием, i = 1,2,3. Тогда

1) Событие А – одно поражение цели.

2) Событие А – хотя бы одно поражение цели.

- ни одного попадания в цель. Тогда

Теорема 6. Вероятность наступления хотя бы одного из n независимых событий равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий.

Следствие: Если вероятность наступления каждого события одинакова, т.е. P(A_i) = p, , то

.