Лекция 4. Условная вероятность. Теорема умножения. Независимые события. Формула полной вероятности

Определение 1. Вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В наступило, называют условной вероятностью и обозначают P_B(A) или P(A/B).

Проследим за различием безусловной и условной вероятности на примере.

Пример 1. Из колоды в 36 карт последовательно вынимают две карты. Найти:

1) безусловную вероятность того, что вторая карта окажется тузом;

2) условную вероятность, что вторая карта окажется тузом, если первая карта была туз.

Решение: Обозначим через событие А – появление туза на втором месте, а через событие В – появление туза на первом месте. Тогда

1) событие А можно представить в виде следующей суммы несовместных событий:

,

.

2) Если предположить, что первая вытащенная карта – туз, т.е. событие В наступило, то условная вероятность равна

.

Рассмотрим решение задачи отыскания условной вероятности в общем виде для классического определения: Пусть из полной группы попарно несовместных и равновозможных событий А₁, А₂, … , А_n, событию А благоприятствуют m исходов, событию В – k исходов и событию АВ – r исходов данной группы событий.

Если событие В произошло, то это означает, что наступило одно из k событий A_j, благоприятствующих событию В. При этом условии событию А благоприятствуют r и только r событий A_j, благоприятствующих событию АВ. Тогда

.

Аналогично доказывается, что

.

Из полученных формул находим, что

P(AB) = P(B)P(A/B) = P(A)P(B/A) (1)

Таким образом доказана теорема умножения:

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие наступило.

Следствие: Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, при условии, что все предыдущие события наступили.

(2)

Пример 2.В урне лежат 5 белых, 4 черных и 3 синих шаров. Каждое испытание состоит в том, что извлекается наудачу один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором – черный, при третьем – синий.

Решение: Обозначим вероятности появления шаров в последовательных испытаниях через Б, Ч, С. Тогда

Условная вероятность обладает всеми свойствами вероятностей, так как она удовлетворяет системе аксиом 1-3.

Действительно:

1) Для любого А определена неотрицательная функция

.

2) Событие А при условии наступления события В будет достоверным, если .

Действительно: .

3) Если А₁, А₂, …, А_n попарно несовместны, то