Матрица перехода от базиса к базису

Пусть b = {b₁, … , b_n}– базис n-мерного векторного пространства V над полем F. Тогда L(b) = V, так что любой вектор v Î V является линейной комбинацией базисных векторов: v = a₁×b₁+…+a_n×b_n. Напомним, что скаляры a₁ , … , a_n Î F называются координатами вектора v в базисе b , а вектор-столбец Î ⁿF – координатным столбцом вектора v в базисе b и обозначается через [v]_b . Было доказано, что координатные столбцы удовлетворяют следующим очевидным свойствам:

1⁰. [0]_b = 0 Î ⁿF.

2⁰. " u, v Î V [u+v]_b= [u]_b + [v]_b .

3⁰. " a Î F " v Î V [a×v]_b = a×[v]_b .

Пусть теперь e = {e₁ , … , e_n} и f = {f₁ , … , f_n} – два базиса векторного пространства V. Тогда каждый вектор f_iоднозначно разлагается по базису e : f_i = e₁×t_1i + … + e_n×t_ni (1 £ i £ n). Таким образом, существует однозначно определённая матрица T_e,f = (t_ij) Î M(n, F) со свойством f = e×T_e,f. При этом по свойству 15⁰ матричного символизма T_e,f Î GL(n, F). Матрица T_e,f называется матрицей перехода от базиса e к базису f.

Из определения немедленно следует, что f_i = e₁×t_1i + … + e_n×t_ni = e×t⁽ⁱ⁾. Таким образом, t⁽ⁱ⁾ = [f_i]_eи T_e,f = ([f₁]_e , … , [f_n]_e).

Примеры: 1. Пусть e =(e₁ , e₂, e₃) – произвольный базис векторного пространства V , f = (e₁ – e₃ , e₁ + e₂ , 2×e₂ + e₃).

Тогда f = (e₁ , e₂ , e₃)× . При этом матрица T_{e, f} = невырождена, т.е. f – базис V, а T_{e, f} – матрица перехода от e к f.

2. Пусть V = R ⁿ, e = (e₁ , … , e_n) и f = (f₁, … , f_n) – два базиса. Известно, столбец [f_j] находится из системы уравнений (e₁^t , … , e_n^t)×[f_i]_e = f_i^t. Поэтому матрица перехода T_e,f = ([f₁]_e , … , [f_n]_e) удовлетворяет матричному уравнению (e₁^t , … , e_n^t)×T_e,f = (f₁^t , … ,f₁^t).

3.Если же V =ⁿR , e = (e₁ , … , e_n) и f = (f₁, … , f_n) – два базиса V, то аналогично предыдущему можно получить, что матрица T_e,fоднозначно определяется системой линейных уравнений (e₁ , … , e_n)×T_e,f = (f₁, … , f_n).

4. Пусть V = R³, e = ((1; 0; 1), (–1; 1; 0), (0; 0; 1)), f = ((0; 0; –1), (0; 1; 1), (2; 0; 0)). Для нахождения матрицы перехода T_e,f записываем систему ×T_e,f = , решая которую, получаем

T_e,f = ×.