Образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора

Пусть V, W – два векторных пространства над одним и тем же полем F, j : V ® W – линейный оператор. Тогда множества

Im(j) = {w Î W | $ vÎ Vw = j(v)}, Ker(j) = {v Î V | j(v) = 0_W }

называются соответственно образом и ядром линейного оператора j (от английских слов Image и Kernel). Графически образ и ядро можно условно изобразить так:

Лемма (об образе и ядре линейного оператора). Для любого линейного оператора j : V ® W справедливы следующие утверждения:

(1) Im(j) и Ker(j) – подпространства в Wи в V соответственно,

(2) Если e = (e₁ , … , e_n) – базис V, то Im(j) = L(j(e₁), … , j(e_n)),

(3) Если V = Wи e = (e₁ , … , e_n) – базис V, то

Ker(j) = {v= e×[v]_e Î V| [j]_e×[v]_e=0Î ⁿF },

(4) (j инъективен) Û Ker(j) = {0_V}.

Доказательство. (1) Во-первых, равенство j(0_V) = 0_W показывает, что 0_V Î Ker(j), 0_W Î Im(j), так что Im(j) ¹ Æ, Ker(j) ¹ Æ . По лемме о подпространстве нужно проверить замкнутость Im(j) и Ker(j) относительно сложения и умножения на скаляры.

+: если w₁ , w₂ Î Im(j), то $ v₁ , v₂ Î Vw_i = j(v_i) (i = 1, 2) и w₁ Å w₂ = = j(v₁) Å j(v₂) = j(v₁ + v₂) Î Im(j) .

Если v₁ , v₂ Î Ker(j), то j(v_i) = 0_W (i = 1, 2) и j(v₁ + v₂) = j(v₁)Åj(v₂) = = 0_W + 0_W = 0_W , т.е. v₁ + v₂ Î Ker(j).

a×: если a Î F, w Î Im(j), то $ v Î Vw = j(v) и a Ä w = a Ä j(v) = = j(a×v) Î Im(j) .

Если a Î F, v Î Ker(j), то j(v) = 0_W и j(a×v) = a Ä j(v) = a Ä 0_W = 0_W , т.е. a×v Î Ker(j) .

Таким образом, Im(j), Ker(j) – подпространства в W и в V соответственно.

(2) Поскольку j(e_i) Î Im(j) (1 £ i £ n) , то L(j(e₁), … , j(e_n)) Í Im(j). Для доказательства обратного включения рассмотрим произвольный вектор w Î Im(j) и представим его в виде линейной комбинации базисных векторов j(e₁), … , j(e_n). Пусть w= j(v), где v = a₁×e₁+ … + a_n×e_n Î V. Тогда w = = j(v) = j(a₁×e₁+ … + a_n×e_n) = a₁Äj(e₁)Å …Å a_nÄj(e_n) Î L(j(e₁), … , j(e_n)).

(3) Ker(j) = {v Î V | j(v) = 0_V } = { v = e×[v]_e Î V | e×[j(v)]_e = 0_V } =

= {v = e×[v]_e Î V | e×[j]_e×[v]_e = 0_V } = {v = e×[v]_e Î V | [j]_e×[v]_e = 0 Î ⁿF }, что и требовалось.

(4) (Þ) Пусть линейный оператор j инъективен: из j(x) = j(y) следуетx = y для любых x, y Î V. Если v Î Ker(j), то j(v) = 0_W = j(0_V) и значит v = 0_V, т.е. Ker(j) = {0_V}.

(Ü) Пусть Ker(j) = {0_V} и x, y Î V, причём j(x) = j(y). Тогда j(x – y) = = j(x) j(y) = 0_W , т.е. x – y Î Ker(j) = {0_V} и x = y .

Лемма доказана.

Числа dim(Im(j)) и dim(Ker(j)) называются соответственно рангом и дефектом линейного оператора j и обозначаются через rg(j), def(j) соответственно.

Примеры: 1. Пусть линейный оператор j : F³ ® F³ задан правилом j(x; y; z) = (x + 2×y; y – z; x + z). Найдём Im(j), Ker(j), rg(j), def(j).

Выберем стандартный базис e = (e₁ = (1; 0; 0), e₂ = (0; 1; 0), e₃ = (0; 0; 1)) в F ³. Тогда Im(j) = L(j(e₁), j(e₂), j(e₃)), где j(e₁) = j(1; 0; 0) = (1; 0; 1), j(e₂) = j(0; 1; 0) = (2; 1; 0), j(e₃) = j(0; 0; 1) = (0; –1; 1). Итак,

Im(j) = {a₁×(1; 0; 1)+a₂×(2; 1; 0)+a₃×(0; –1; 1) Î F³ | a₁ , a₂ , a₃ Î F} =

= {(a₁ + 2×a₂ ; a₂ – a₃ ; a₁ + a₃) Î F³}.

При этом векторы (1; 0; 1), (2; 1; 0), (0; –1; 1) линейно независимы (т.к. ¹ 0) и поэтому образуют базис Im(j). Значит,

rg(j) = dim(Im(j)) = 3 = dim F³.

Таким образом, Im(j) = F³ и j – эпиморфизм. Далее,

Ker(j) = { v Î F³ | j(v) = 0} = {(x; y; z) Î F³ | (x + 2×y; y – z; x + z) = (0, 0, 0)} =

= {(x, y, z) Î F³ | } = {(0, 0, 0)}.

Последнее равенство выполнено т.к. определитель основной матрицы однородной системы линейных уравнений не равен нулю. Таким образом, Ker(j) = 0, базис ядра не определён, def(j) = dim(Ker(j)) = 0, j – эпиморфизм и мономорфизм, а значит изоморфизм.

2. Пусть V – трёхмерное векторное пространство с базисом e = (e₁ , e₂ , e₃), j : V ® V – линейный оператор с матрицей [j]_e = . Найдём Im(j), Ker(j), rg(j), def(j).

Имеем Im(j) = L(j(e₁), j(e₂), j(e₃)) = L(e₁ – e₂ , –e₁ – e₃ , 2×e₁ – e₂ + e₃), причём 2×e₁ – e₂ + e₃ = (e₁ – e₂) – (–e₁ – e₃) , а векторы e₁ – e₂и –e₁ – e₃линейно независимы (?!). Таким образом,

Im(j) = L(e₁ – e₂ , –e₁ – e₃) = {a₁×(e₁ – e₂) + a₂×(–e₁ – e₃) Î V | a₁ , a₂ Î F} =

= { (a₁ – a₂)×e₁ – a₁×e₂ – a₂×e₃ Î V | a₁ , a₂ Î F }.

Поэтому rg(j) = dim Im(j) = 2 < dim Vи j не является эпиморфизмом.

По лемме об образе и ядре получаем:

Ker(j) = {v = a₁×e₁ + a₂×e₂ + a₃×e₃ Î V | }.

Решаем полученную систему:

Таким образом, общее решение системы { Î F³ | a₃ Î F} и

Ker(j) = {v = –a₃×e₁ + a₃×e₂ + a₃×e₃ Î V | a₃ Î F} =

= {v = a₃×(–e₁ + e₂ + e₃ ) Î V | a₃ Î F)}.

Базисом ядра будет вектор –e₁ + e₂ + e₃ Î V, def(j) = dim Ker(j) = 1.

Рассмотренные примеры показывают, что для оператора j в n-мерном арифметическом пространстве справедливы формулы

dim(Im(j)) + dim(Ker(j)) = n, rg(j) + def(j) = n.

Оказывается, что имеет место общая

Теорема (о сумме ранга и дефекта линейного оператора). Для любого линейного оператора j : V ® W верно dim(Im(j)) + dim(Ker(j)) = dim V, т.е. rg(j) + def(j) = dim V.

Доказательство. В случае Im(j) = {0_W} имеем rg(j) = 0, Ker(j) = V, def(j) = dim V и доказываемые формулы очевидны. Если же Ker(j) = {0_V}, то j – мо­номорфизм, dim(Im(j)) = dim V , и формулы также выполняются. Таким образом, можно предполагать, что Im(j) ¹ {0_W} и Ker(j) ¹ {0_V}.

Пусть w = (w₁ , … , w_k) – базис Im(j) ¹ {0_W}. Тогда найдутся v_i Î V со свойствами w_i = j(v_i) (1£ i £ k). Пусть, кроме того, k = (k₁ , … , k_s)– базис Ker(j) ¹ {0_V} и e = (v₁ , … , v_k , k₁ , … , k_s). Докажем, что e является базисом V. Тогда соотношение dim V= s + k = dim(Im(j)) + dim(Ker(j)) станет очевидным.

Линейная независимость: если a₁×v₁ + … + a_k×v_k + b₁×k₁ + … + b_s×k_s = 0_V, то

0_W = j(0_V) = a₁Äj(v₁) Å … Å a_kÄj(v_k) Å b₁Äj(k₁) Å … Å b_sÄj(k_s) =

= a₁Äw₁ Å …Å a_kÄw_k ,

откуда (т.к. w – базис Im(j)) получаем a₁ = … = a_k = 0. Значит, будет верно b₁×k₁ + … + b_s×k_s = 0_V и (т.к. k – базис Ker(j)) b₁ = …= b_s = 0, что и требовалось.

Система образующих: Пусть v Î V. Тогда j(v) Î Im(j) , и значит, найдутся такие a₁ , … , a_k Î F, что

j(v) = a₁Äw₁ Å … Å a_kÄw_k = a₁Äj(v₁) Å … Å a_kÄj(v_k) = j(a₁×v₁+…+a_k×v_k).

Таким образом, j(v – (a₁×v₁+…+a_k×v_k)) = 0_V , т.е. v – (a₁×v₁+…+a_k×v_k) Î Ker(j) и поэтому найдутся такие b₁ , … , b_s Î F, что

v – (a₁×v₁ + … + a_k×v_k ) = b₁×k₁ + … + b_s×k_s ,

т.е. v = a₁×v₁ + … + a_k×v_k + b₁×k₁ + … + b_s×k_s , что и требовалось.

Теорема доказана.

Следствие 1 (о размерности пространства решений однородной системы). Пространство L решений однородной системы A×x = 0 m линейных уравнений с n неизвестными над полем F имеет размерность n – rg(A).

Доказательство. Рассмотрим линейный оператор j : ⁿF ® ^mF, заданный правилом j(x) = A×x (x Î ⁿF). Тогда Ker(j) = {x Î ⁿF | A×x = 0} = L , а Im(j) = L(j(e₁^t) , … , j(e_n^t)), где e₁^t , … , e_n^t – стандартный базис в ⁿF , и по теореме dim ⁿF = n = dim(Im(j)) + dim(Ker(j)). Поскольку j(e_i^t) = A×e_i^t = = a⁽ⁱ⁾, то dim(Im(j)) = dim L(a⁽¹⁾, … , a⁽ⁿ⁾) = rg(A), так что

dim L = dim(Ker(j)) = n – dim(Im(j)) = n – rg(A).

Следствие 1 доказано.

Следствие 2 (о рангах аннулирующих друг друга матриц). Для любых матриц A Î M(m, k, F), B Î M(k, n, F) со свойством A×B = 0_{m´ n} выполняется неравенство rg(A) + rg(B) £ k .

Доказательство. Столбцы матрицы В являются решениями однородной системы линейных уравнений A×x = 0. Поэтому rg(B) = dim L(b⁽¹⁾, … , b⁽ⁿ⁾) £ £ dim L = k – rg(A), что и требовалось доказать.

Следствие 2 доказано.

§ 6. Инвариантные подпространства линейного оператора

Пусть j : V ® V – линейный оператор, W – подпространство в V. Оно называется j-инвариантным, если " w Î W j(w) Î W. Будем использовать обозначение W Í _j V.

Примеры. 1. Очевидно, что {0} Í _jVи V Í _jV для любого линейного оператора j : V ® V .

2. Если j : V ® V – линейный оператор, то Ker(j) Í _jV и Im(j) Í _jV , т.к. " k Î Ker(j) j(k) = 0 Î Ker(j) и " v Î Im(j) j(v) Î Im(j).

3. Пусть линейный оператор j : V® V имеет в базисе {e₁ , e₂ , e₃} матрицу . Тогда пространство L(e₁ , e₂) является j-инвариантным.

Действительно, по определению матрицы линейного оператора имеем

j(e₁) = (e₁ , e₂ , e₃)× = –e₁ + 2×e₂ Î L(e₁ , e₂), j(e₂) = (e₁ , e₂ , e₃)× = = e₁ – 2×e₂ Î L(e₁ , e₂) и поэтому " l = a₁×e₁ + a₂×e₂ Î L(e₁ , e₂) верно включение j(l) = a₁×j(e₁) + a₂×j(e₂) Î L(e₁ , e₂).

Оказывается, пример 3 отражает общую ситуацию, как показывает следующая

Лемма (об инвариантных подпространствах линейного оператора). Следующие условия для линейного оператора j : V ® V и подпространства W в n-мерном векторном пространстве V эквивалентны:

(1) подпространство W является j-инвариантным,

(2) для некоторого базиса (w₁ , … , w_k) пространства Wвыполнены условия j(w_i) Î W (1 £ i £ k).

Кроме того, эквивалентны следующие утверждения:

(3) существует собственное j-инвариантное подпространство W (т.е. {0} ¹ W ¹ V, j(W) Í W),

(4) в некотором базисе e = (e₁ , … , e_n) пространства V матрица линейного оператора j имеет полураспавшийся вид [j]_e = , где A Î M(k, F), B Î M(n – k, F), C Î M(k, n – k, F).

Доказательство. (1) Þ (2) Если W – j-инвариантное подпространство, то " w Î W j(w) Î W. В частности, это выполнено и для векторов любого базиса (w₁ , … , w_k) пространства W.

(2) Þ (1) Пусть теперь для векторов некоторого базиса (w₁ , … , w_k) пространства W выполнено условие j(w_i) Î W(1 £ i £ k). Докажем, что " w Î W j(w) Î W: если w = a₁×w₁ + … + a_k×w_k – разложение по базису, то j(w) = = a₁×j(w₁)+…+a_k×j(x_k) Î W.

(3) Þ (4) Пусть W – собственное j-инвариантное подпространство с базисом {e₁ , … , e_k} и 0 < dim W = k < dim V = n. Дополним этот базис до базиса всего пространства V векторами e_k+1 , … , e_n и рассмотрим матрицу линейного оператора jв расширенном базисе e = (e₁ , … , e_k , e_k+1 , … , e_n ). Имеем [j]_e = ,где A Î M(k, F), B Î M(n – k, F), C Î M(k, n – k, F) и D Î M(n – k, k, F). Первые k её столбцов – это координатные столбцы [j(e₁)]_e , … , [j(e_k)]_e , причём ввиду j-инвариантности подпространства W = L(e₁ , … , e_k) выполнены включения j(e_i) Î L(e₁ , … , e_k) (1 £ i £ k). Таким образом, j(e_i) = a_1i×e₁ + … + a_ki×e_k + 0×e_k+1 + … 0×e_n, т.е. D = 0_(n–k)´k и матрица оператора полураспавшаяся в выбранном базисе.

(4) Þ (3) Пусть в некотором базисе e = (e₁ , … , e_k , e_k+1 , … , e_n ) пространства V матрица [j]_e полураспавшаяся [j]_e = . Докажем, что пространство W = L(e₁ , … , e_k) является j-инвариантным подпространством в V. Действительно,

j(e_i) = (e₁ , … , e_k , e_k+1 , … , e_n)×[j]_e⁽ⁱ⁾ = (e₁ , … , e_k , e_k+1 , … , e_n)× =

= (e₁ , … , e_k)×a⁽ⁱ⁾ = a_1i×e₁ + … + a_ki×e_k Î L(e₁ , … , e_k) = W.

Таким образом, подпространство W является j-инвариантным.

Лемма доказана.

Упражнения: 1. Найдите все инвариантные подпространства линейного оператора j : V ® V с матрицей [j]_e = в некотором базисе {e₁ , e₂ , e₃}.

2. Найдите все инвариантные подпространства линейного оператора j : V ® V с матрицей [j]_e = в некотором базисе {e₁ , e₂ , e₃}.

Особенно часто используются одномерные инвариантные подпространства, к изучению которых мы сейчас переходим.