Алгоритм разложения сигнала по неортогональному базису

При обработке экспериментальных функций времени может возникнуть необходимость представления этих функций в виде аналитических выражений. Непрерывный процесс f(t), определенный на интервале T, можно разложить по заранее выбранной системе базисных функций ф₁(t)…ф_n(t), где n – число базисных функций. Разложение S(t) имеет вид:

S(t) = ; f(t) = S(t) + d(t) (1.1) Здесь d(t) = f(t) – S(t) (1.2)

-ошибка разложения

Введем понятие энергии E_y функции (сигнала) y(t):

E_y = (1.3)

В качестве критерия, характеризующего удаление S(t) от f(t) на интервале T, то-есть характеризующего качество разложения, примем энергию ошибки

E_d = (1.4)При заданных f(t) , T и ф_i(t) энергия ошибки является функцией от коэффициентов C_i разложения. Коэффициенты разложения будем выбирать из условия минимума энергии ошибки, для чего приравняем нулю частные производные

= 0 ; i = 1…n . (1.5)

Из (4) и (2) можно получить:

E_d = = E_f – A + E_s ; (1.6)

E_f = , A = -2 , E_s =

С учетом (6) уравнения (5) станут:

= - + = 0; i = 1…n (1.7)

Используя (1) и (6) , выпишем частные производные:

= 0; = 2 (1.8)

= 2 ; = ф_i (t)

Подставив (8) в (7), получим:

= V_i; i = 1…n . (1.9)

Здесь введены обозначения:

U_i,k = ; V_i = . (1.10)

Линейная алгебраическая неоднородная система уравнений (9) вместе с обозначениями (10) определяет значения коэффициентов разложения C_i , при которых энергия E_d ошибки разложения минимальна. Используя обозначения (10), энергию ошибки (4) при произвольных значениях коэффициентов C_i можно представить:

E_d = E_f – 2 + . (1.11)

При оптимальных значениях коэффициентов, вычисленных из (9), энергия ошибки (11) имеет вид:

E_d = E_f - = E_f –E_s . (1.12)

Приведенные выше результаты имеют достаточно прозрачное геометрическое представление. Введем в рассмотрение пространство H (бесконечномерное), элементами которого являются функции, определенные на интервале T, и удовлетворяющие условиям Дирихле, то – есть ограниченные и имеющие конечное число экстремумов и разрывов первого рода. Любая такая функция представляется в пространстве H точкой или, что эквивалентно, вектором. Определим скалярное произведение двух векторов в пространстве H следующим образом:

= (1.13)

Пространства, в которых определена операция скалярного произведения, называются Гильбертовыми. Они обладают геометрическими аналогиями, вследствие которых суждения, полученные из геометрического рассмотрения, имеют силу доказательств. Квадрат модуля любого сигнала y(t) в пространстве H равен энергии этого сигнала, что видно из определений энергии (3) и cкалярного произведения (13):

= = = E_y (1.14)

Векторы y(t) и x(t) ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю:

= = 0 (1.15)

Базисные функции ф_i(t) изображаются в пространстве H векторами, которые формируют гиперплоскость S_n размерностью n, то есть набор функций ф_i (t) является неортогональным базисом гиперплоскости S_n. Разложение S из (1) всегда лежит в гиперплоскости S_n а коэффициенты C_i являются координатами S в неортогональном базисе гиперплоскости S_n. Разлагаемая функция f(t), в общем случае, не лежит в гиперплоскости S_n. Ошибка разложения d(t) изображается в пространстве H вектором, соединяющим концы векторов f(t) и S(t). Квадрат длины вектора ошибки, согласно (14), равен энергии ошибки, т.е. принятому критерию близости (4). Из геометрических соображений ясно, что длина вектора ошибки (а вместе с ней и энергия ошибки) будет минимальной, если вектор ошибки d(t) ортогонален гиперплоскости S_n. Последнее выполняется, когда вектор ошибки d(t) ортогонален ко всем базисным функциям ф_i(t), формирующим гиперплоскость S_n. Принимая во внимание определение скалярного произведения (13) и условие ортогональности (15), можно записать:

= = 0

Легко видеть, что подставив сюда d(t) = f(t) – S(t) из (2) и используя обозначения (10), получим систему уравнений (9). Величины (10) при этом являются скалярными произведениями:

U_i,k = = ; (1.16)

V_i = = .

Матричная запись системы уравнений (9) имеет вид:

U*C = V (1.17)

Здесь U – квадратная матрица размерностью n*n с элементами U_i,k , V – вектор правых частей размерностью n*1 с элементами V_i , C– вектор неизвестных размерностью n*1 с элементами C_k..