Координатная форма записи линейного оператора

Пусть V – векторное пространство над полем F с базисом e = (e₁ , … , e_n), j : V ® V– линейный оператор, x Î V. Найдём связь между координатными столбцами [x]_eи [j(x)]_e .

Пример.Пусть F – поле, V = ⁿ F, A Î M(n, F). Тогда отображение m : ⁿ F ® ⁿ F, заданное правилом " x Î ⁿ F m(x) = A×x , является линейным оператором, причём для стандартного базиса e = (e₁^t , … , e_n^t) в ⁿ F,гдеe_i = (0; … ; 0; , 0; … ; 0), имеем [x]_e = xи m(x)]_e = [A×x]_e = A×x = [m]_e . Таким образом, " x Î ⁿ F [m(x)]_e = [m]_e×[x]_e.

Оказывается, что аналогичная формула имеет место и в общем случае. Для её вывода понадобится следующее свойство линейных операторов:

Свойство согласованности матричного умножения с действием линейного оператора: Пусть V – векторное пространство над полем F, j : V ® V – линейный оператор. Тогда для любой к.с.в v = (v₁ , … , v_n) Î Vⁿ и матрицы T Î M(n, m, F) справедливо равенство j(v×T) = j(v)×T.

Действительно, если t^(j) = – j-й столбец матрицы T (1 £ j £ m), то

v×t^(j) = t_1j×v₁+ … +t_nj×v_n , j(v×t^(j)) = j(t_1j×v₁+ … +t_nj×v_n) =

= t_1j×j(v₁)+ … +t_nj×j(v_n) = j(v)×t^(j).

Таким образом, j(v×T) = j(v₁×t⁽¹⁾, … , v_n×t^(m)) = (j(v×t⁽¹⁾), … , j(v×t^(m))) = = (j(v)×t⁽¹⁾, … , j(v)×t^(m)) = j(v)×T, что и требовалось доказать.

Теперь вывод общей формулы прост: если x = e×[x]_e , то

e×[j(x)]_e = j(x) = j(e×[x]_e ) = j(e)×[x]_e= e×[j]_e×[x]_e ,

так что [j(x)]_e = [j]_e×[x]_e .

Доказанная формула [j(x)]_e = [j]_e·[x]_e называется координатной формой записи линейного оператора j в базисе e.

Изменение матрицы линейного оператора при переходе

От базиса к базису

Пусть линейный оператор j : V ® V в векторном пространстве V имеет матрицу [j]_e в базисе e = (e₁ , … , e_n). Выясним, как изменится эта матрица при переходе к новому базису f = (f₁ , … , f_n).

Имеем j(e) = e×[j]_e , j(f) = f×[j]_f , f = e×T_{e, f} . Поэтому j(f) =f×[j]_f = = e×T_{e, f} ×[j]_f и j(f) = j(e×T_{e, f}) = j(e)×T_{e, f} = e×[j]_e×T_{e, f} . Значит T_{e, f} ×[j]_f = = [j]_e×T_{e, f} и (учитывая обратимость матрицы перехода T_{e, f}) получаем

.

Пример. Пусть j : F³ ® F³ – линейный оператор, имеющий в базисе e = (e₁ , e₂ , e₃) матрицу [j]_e . Найдём [j]_f, если

f = (e₁ – e₃ , e₁ + e₂ , 2×e₂ + e₃).

Имеем T_{e, f} = , T_{e, f}^–1 = ,так что получаем по формуле [j]_f = ×[j]_e× .