Взаимосвязь координат в разных базисах.

Координаты относительно нового базиса: практические методы их нахождения.(С помощью системы линейных уравнений и с помощью обратной матрицы).

Пусть - «старый» базис, в качестве которого, как правило, рассматриваем декартов базис, напр. . Пусть задан новый базис из n векторов . Нужно найти координаты вектора относительно нового базиса.

Это приводит к системе уравнений:

с основной невырожденной квадратной матрицей, так как столбцы линейно независимы, ведь их составляют векторы базиса.

Далее либо решается система (методом Гаусса), либо матричным методом: .

Матрица , содержащая координаты векторов нового базиса, выраженные относительно старого (по столбцам), называется матрицей переходаот старого базиса к новому. По построению, она невырождена, .

Пример.Доказать, что векторы , , образуют базис 3-мерного пространства, и найти координаты вектора относительно этого базиса.

, = = = -1.

Система линейно независима, вспомнить: Следствие.Всякая линейно-независимая система из n векторов n-мерного пространства является базисом.

Итак, данная система векторов является базисом.

Выразим вектор через этот базис:

Для того, чтобы найти координаты , нужно решить систему уравнений.

Она уже приведена к ступенчатому виду (выше побочной диагонали коэффициенты, ниже нули). ,

Из первого, .

Итак, новые координаты . Проверка. Действительно,

Пример.Доказать, что множество многочленов образует базис в линейном пространстве многочленов степени не выше 2. Построить матрицу перехода.

Решение.Мы можем просто построить матрицу перехода от одного базиса к другому и доказать её невырожденность.

Старый базис . Найдём координаты этих элементов относительно старого базиса. e1 = 1 e2 = x …

=

Строим матрицу: .

Матрица верхне-треугольная, её определитель равен 1, она невырожденная.

Например, при для имеет вид:

Чтобы найти разложение по новому базису, достаточно решить систему уравнений, причём её основная матрица уже в треугольной форме, т.е. прямой шаг метода Гаусса не потребуется.

Пусть . Разложить по основанию .

, из 1-го:

. Итак, = .

Проверка. = = .

Пример.В 4-мерном линейном пространстве матриц порядка 2 базисом является множество матриц:

A = , B = , C = , D = .

Является ли базисом множество матриц:

, , , .

Построим матрицу перехода.

, , , .

M1 = 1A+1B+0C+0D координаты (1,1,0,0).

Матрица перехода: .

Вычислим её определитель, разложив по 1-й строке.

=

первый из миноров разложим по 1-й строке, а второй по 1-му столбцу.

Тогда получим = .

Эта система линейно зависима, базисом не является.

И действительно, один из элементов можно выразить через другие: .

= = .

- - - Перерыв - - -

Теорема 3(о продолжении базиса). Для каждой линейно независимой системы векторов конечномерного пространства размерности n можно найти такие векторы , что система

будет базисом пространства .

Доказательство.Система (1), базис (2).

Применим теорему о замене. Это возможно, т.к. (1) ЛНС и (1) выражается через (2). В (2) заменим векторов на векторы , получив новую систему , .

Она ЛНС, так как эквивалентна базису (2). ЛНС из n векторов также является базисом.