Теорема Кронекера-Капелли
Первым вопросом, возникающем при изучении системы (1.3) , является вопрос о ее совместности. Ответ на него дает теорема Кронекера-Капелли (без доказательства).
Теорема 1.1. Для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А из коэффициентов при неизвестных был равен рангу расширенной матрицы 
, под которой пони-мают матрицу А, дополненную столбцом свободных членов:
Приведем алгоритм решения системы из m уравнений с n неизвестными:
1. Находим rangA и rang 
. Если они равны, то система совместна , если не равны – система не имеет решений.
2. Если система совместна, выписываем равносильную систему, включа-ющую в себя только те уравнения, коэффициенты при неизвестных в которых образуют базисный минор.
3. Если система совместна и rang A=n, то систему можно решать по формулам Крамера или матричным способом. В этом случае система имеет единственное решение. Если rang A=r<n, то n-r членов, содержащих неизвестные с коэффициентами, не входящими в базисный минор, пе-реносим в правую часть. Эти неизвестные называются свободными пе-ременными и могут принимать любые значения. Неизвестные, остав-шиеся в левой части, называются главными (их r штук). Если rang A<n, то система имеет бесконечно много решений.
4. Решаем полученную систему r уравнений с r неизвестными по формулам Крамера или с помощью обратной матрицы.
Пример. Решить систему
(1.6)
Можно показать, что rang A=rang 
=2. В качестве базисного минора рассмотрим 
, следовательно, система равносильна системе
Оставим слева члены, содержащие коэффициенты базисного минора, получим систему
Решаем по формулам Крамера, принимая 
Тогда 
Решением (1.6) является упорядоченная четверка чисел. Учитывая, что 
и 
- свободные переменные, которые могут принимать любые значения, получим :
Ясно, что система имеет бесконечно много решений.
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 246;
