Теорема Кронекера-Капелли

Первым вопросом, возникающем при изучении системы (1.3) , является вопрос о ее совместности. Ответ на него дает теорема Кронекера-Капелли (без доказательства).

Теорема 1.1. Для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А из коэффициентов при неизвестных был равен рангу расширенной матрицы , под которой пони-мают матрицу А, дополненную столбцом свободных членов:

÷

÷

÷ .

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

ç

ç

è

æ

=

m

mn

m

m

n

n

b

a

a

a

b

a

a

a

b

a

a

a

A

...

.....

.....

......

......

....

...

...

Приведем алгоритм решения системы из m уравнений с n неизвестными:

1. Находим rangA и rang . Если они равны, то система совместна , если не равны – система не имеет решений.

2. Если система совместна, выписываем равносильную систему, включа-ющую в себя только те уравнения, коэффициенты при неизвестных в которых образуют базисный минор.

3. Если система совместна и rang A=n, то систему можно решать по формулам Крамера или матричным способом. В этом случае система имеет единственное решение. Если rang A=r<n, то n-r членов, содержащих неизвестные с коэффициентами, не входящими в базисный минор, пе-реносим в правую часть. Эти неизвестные называются свободными пе-ременными и могут принимать любые значения. Неизвестные, остав-шиеся в левой части, называются главными (их r штук). Если rang A<n, то система имеет бесконечно много решений.

4. Решаем полученную систему r уравнений с r неизвестными по формулам Крамера или с помощью обратной матрицы.

Пример. Решить систему

(1.6)

÷

÷ .

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

-

-

-

-

-

=

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

-

-

-

-

=

,

A

A

Можно показать, что rang A=rang =2. В качестве базисного минора рассмотрим , следовательно, система равносильна системе

Оставим слева члены, содержащие коэффициенты базисного минора, получим систему

Решаем по формулам Крамера, принимая

2 .

-

=

+

-

-

+

-

=

-

=

-

+

-

-

+

-

=

-

=

-

=

4

3

2

1

2

2

1

4

3

2

1

1

x

x

x

x

Δ

,

x

x

x

x

x

x

Δ

;

Δ

Тогда

Решением (1.6) является упорядоченная четверка чисел. Учитывая, что и - свободные переменные, которые могут принимать любые значения, получим :

R).

s

(t,

,

1,

x

s

t

x

s ,

x

t ,

x

4

3

2

1

Î

ï

ï

î

ï

ï

í

ì

=

+

-

=

=

=

Ясно, что система имеет бесконечно много решений.