Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера

Рассмотрим систему

ï

ï

î

ï

ï

í

ì

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

...

..........

..........

..........

..........

...

...

,

,

.

(1.3)

В матричной форме система имеет вид .Пусть , сле-

довательно, существует обратная матрица . Умножим левую и правую части на с левой стороны: . Так как и , то решение (2.3) в матричной форме имеет вид

. (1.4)

Для вывода формул Крамера ограничимся случаем n=3. Матричное равенство запишется в виде

÷

÷

÷

÷ .

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

ç

ç

ç

ç

è

æ

D

+

+

D

+

+

D

+

+

=

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

A

b

x

x

x

Выражение - разложение по первому столбцу определи-теля

Аналогично

,

a

b

a

a

b

a

a

b

a

A

b

A

b

A

b

=

D

=

+

+

.

b

a

a

b

a

a

b

a

a

A

b

A

b

A

b

=

D

=

+

+

Следовательно, систему из n уравнений с n неизвестными с определи-телем из коэффициентов при неизвестных, отличным от нуля, можно решать по формулам, которые называются формулами Крамера:

(1.5)