Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Пример 1.1.Заданы матрицы , , . Вычислить:
.
Решение.1. Вычислим произведение матриц . Найдем размерность матрицы-произведения, если умножение заданных матриц возможно: . Результатом вычисления будет матрица размера .
Вычислим элементы матрицы-произведения, умножая элементы каждой строки матрицы на соответствующие элементы столбцов матрицы следующим образом:
.
2. Найдем матрицу . При транспонировании строки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка:
.
3. Умножим матрицу на число 5, при этом каждый элемент матрицы умножается на это число:
.
4. Вычисляем матрицу :
.
Пример 1.2.Решить систему линейных алгебраических уравнений:
1) методом обратной матрицы; 2) методом определителей (методом Крамера); 3) методом Гаусса.
Решение. 1.Метод обратной матрицы.
Введем обозначения:
, , .
Тогда в матричной форме данная система имеет вид: . Умножим слева обе части матричного равенства на обратную матрицу , получим . Так как , то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец
. | (1.1) |
Найдем матрицу .
Вычислим определитель матрицы А, применяя, например, формулу
. | (1.2) |
,
, следовательно, обратная матрица существует.
Вычисляем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы :
, , ,
, , ,
, , .
Составляем матрицу :
.
Транспонируем матрицу :
.
Находим обратную матрицу:
.
Тогда по формуле (1.1)
,
то есть решение системы: .
2.Метод определителей (метод Крамера).
Найдем определитель системы (см. п. 1). Так как , то по теореме Крамера система имеет единственное решение.
Вычислим определители матриц , полученных из матрицы , заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:
, , .
Решение системы находим по формулам:
, , ,
откуда получаем
.
3.Метод Гаусса.
Замечание 1.1. Напомним, что метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Преобразования Гаусса удобнее проводить не с самими уравнениями системы, а с матрицей их коэффициентов, то есть со строками расширенной матрицы системы.
К элементарным преобразованиям относятся:
1) перестановка местами двух строк матрицы;
2) умножение всех элементов строки на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.
Расширенная матрица исходной системы имеет вид
.
Для удобства преобразований, поменяем в расширенной матрице первую и вторую строки:
.
Далее умножаем первую строку на и прибавляем ко второй строке, потом умножаем первую строку на и прибавляем её к третьей строке. Третью строку полученной матрицы поделим на :
Вторую строку последней матрицы прибавляем к третьей, в результате получим
.
Запишем систему уравнений, соответствующую преобразованной матрице коэффициентов:
.
Из последнего уравнения находим ; подставляем найденное значение во второе уравнение системы: , , и из первого уравнения: , .
Таким образом, решение системы: .
Задача 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений: 1) методом обратной матрицы; 2) методом определителей; 3) методом Гаусса.
1.1. | 1.2. |
1.3. | 1.4. |
1.5. | 1.6. |
1.7. | 1.8. |
1.9. | 1.10. |
1.11. | 1.12. |
1.13. | 1.14. |
1.15. | 1.16. |
1.17. | 1.18. |
1.19. | 1.20. |
1.21. | 1.22. |
1.23. | 1.24. |
1.25. | 1.26. |
1.27. | 1.28. |
1.29. | 1.30. |
2. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 290;