Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Пример 1.1.Заданы матрицы , , . Вычислить:

Решение.1. Вычислим произведение матриц . Найдем размерность матрицы-произведения, если умножение заданных матриц возможно: . Результатом вычисления будет матрица размера .

Вычислим элементы матрицы-произведения, умножая элементы каждой строки матрицы на соответствующие элементы столбцов матрицы следующим образом:

2. Найдем матрицу . При транспонировании строки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка:

3. Умножим матрицу на число 5, при этом каждый элемент матрицы умножается на это число:

4. Вычисляем матрицу :

Пример 1.2.Решить систему линейных алгебраических уравнений:

1) методом обратной матрицы; 2) методом определителей (методом Крамера); 3) методом Гаусса.

Решение. 1.Метод обратной матрицы.

Введем обозначения:

, , .

Тогда в матричной форме данная система имеет вид: . Умножим слева обе части матричного равенства на обратную матрицу , получим . Так как , то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец

(1.1)

Найдем матрицу .

Вычислим определитель матрицы А, применяя, например, формулу

(1.2)

, следовательно, обратная матрица существует.

Вычисляем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы :

, , ,

, , .

Составляем матрицу :

Транспонируем матрицу :

Находим обратную матрицу:

Тогда по формуле (1.1)

то есть решение системы: .

2.Метод определителей (метод Крамера).

Найдем определитель системы (см. п. 1). Так как , то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим определители матриц , полученных из матрицы , заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

, , .

Решение системы находим по формулам:

, , ,

откуда получаем

3.Метод Гаусса.

Замечание 1.1. Напомним, что метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Преобразования Гаусса удобнее проводить не с самими уравнениями системы, а с матрицей их коэффициентов, то есть со строками расширенной матрицы системы.

К элементарным преобразованиям относятся:

1) перестановка местами двух строк матрицы;

2) умножение всех элементов строки на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.

Расширенная матрица исходной системы имеет вид

Для удобства преобразований, поменяем в расширенной матрице первую и вторую строки:

Далее умножаем первую строку на и прибавляем ко второй строке, потом умножаем первую строку на и прибавляем её к третьей строке. Третью строку полученной матрицы поделим на :