РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Всякое соотношение, связывающее решетчатую функцию и её разности до некоторого порядка к

(12.1)

называется разностным уравнением.

Используя формулу, выражающую разности различных порядков через значения решетчатой функции

можно соотношение (12.1)преобразовать к виду

(12.2)

Если (12.2) содержит в явном виде функции и , то исходное разностное уравнение (12.1) называют уравнением порядка к.

При переходе от разностей решетчатых функций к самим решетчатым функциям могут взаимно уничтожаться как функции , так и функции . И в результате порядок разностного уравнения может отличаться от порядка старшей разности.

Например.

Дано уравнение

.

Используя выражение для разностей, имеем

Подставляем в уравнение, после приведения подобных членов получим.

.

Введем новую переменную m=n+1. Получим

.

Т.о. исходное уравнение является уравнением второго порядка, несмотря на то, что оно содержит разность третьего порядка.

Решетчатая функция , которая обращает уравнение в тождество, называется решением разностного уравнения.

Мы ограничимся рассмотрением лишь линейных разностных уравнений к – го порядка с постоянными коэффициентами

(12.3)

Если , то уравнение называется однородным.

Пусть заданы значения - начальные значения. Применяя к обеим частям уравнения (12.3) дискретное преобразование Лапласа и пользуясь свойством 2 – смещение в области оригиналов (теорема опережения), получим уравнение относительно - изображения искомой функции . Решаем это алгебраическое уравнение относительно . Далее, пользуясь таблицами или формулами обратного преобразования, получим .

Если начальные значения не заданы, то, считая их произвольными постоянными получим общее решение уравнения (12.3).

Если исходное линейное разностное уравнение записано в виде

(12.4)

то метод его решения остается тем же. Но для перехода от оригинала к изображению в левой части уравнения следует воспользоваться свойством 4 – изображением конечных разностей. При этом должны быть заданы начальные значения

Если эти значения не заданы, то, считая их произвольными постоянными, получим общее решение.

Указанный метод применяется и при решении систем разностных уравнений.

Пример 1.

Найти решение уравнения

при начальных условиях

.

Решение:

Пусть

Подставляем в уравнение

.

Откуда находим .

.

Удобно произвести замену .

тогда оригинал:

В таблице 3 приведены наиболее часто встречающиеся в примерах соответствия при D-преобразовании и Z - преобразовании.

Пример 2.

Найти решение уравнения при начальных условиях , .

Решение. Здесь уравнение дано в форме разности. Применяем Z – преобразование к обеим частям уравнения:

Откуда,

Таблица 3

№
1.
2.
3.
4.
5.
6.	Линейность
7.	Опережение
8.	Запаздывание
9.	Дифференцирование изображения

Решая это уравнение относительно , получим:

.

Возвращаемся к оригиналу:

Пример 3. Найти решение уравнения x(n+2)+4x(n+1)+3x(n)=1, при начальных условиях x(0)=1, x(1)=1.

Решение.

Применяем Z – преобразование к обеим частям уравнения:

откуда получаем:

Возвращаясь к оригиналу, получим: