ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРНЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
При анализе и синтезе систем автоматического управления и регулирования устройств связи широкое распространение получили следующие основные методы математического исследования: операторный метод, метод интеграла свертки (временный метод) и частотный метод. Эти методы, как и классический, основанный на теории дифференциальных уравнений, играют важнейшую роль в теории линейных систем. Все они связаны друг с другом, но каждый из них имеет свои особенности, которые оказываются более приспособленными для решения специфических задач, встречающихся в технике.
1). Передаточная функция системы.
Линейными системами в теории электрических цепей, автоматического регулирования и управления называют системы, функционирование которых во времени описывается линейными дифференциальными уравнениями (рис.10.1).
Обозначим:
f(t) – входное воздействие на систему (входной сигнал);
x(t) – реакция (отклик) системы на входное воздействие (выходной сигнал);
t – время.
А – оператор линейной системы:
x(t)= А[ f(t)],
А: А[ λ1 f1(t)+ λ2 f2(t)] = λ1 А[ f1(t)] + λ2 А[ f2(t)].
Выход и вход линейной системы связаны линейным дифференциальным уравнением:
, (10.1)
где – символический многочлен:
, (10.2)
( ).
Многочлен называют оператором линейного дифференциального уравнения.
Перейдем к решению задачи о связи выходного и входного сигналов системы в плоскости комплексной переменной . Такой переход осуществляется путем преобразования Лапласа
,
где - функция-оригинал,
- изображение ,
- оператор преобразования Лапласа.
Обратный переход во временную область действительной переменной t осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа
,
- оператор обратного преобразования Лапласа (на месте записывается преобразуемая функция).
Как известно, операторы и являются линейными операторами.
Перейдем к изображениям членов дифференциального уравнения (10.1) при нулевых начальных условиях:
.
Получим
, (10.3)
Где (10.4)
-характеристический многочлен, соответствующий символическому многочлену (10.2) в плоскости изображений.
Обозначим:
, где (10.5)
- изображение входного воздействия на систему;
- изображение реакции системы на входное воздействие.
Функция называется передаточной функцией системы. Эта функция отражает внутреннюю структуру исследуемой системы. Она играет роль оператора А в плоскости изображений.
Положим , где - импульсная функция Дирака.
Учитывая, что , получим
. (10.6)
Таким образом, для нахождения передаточной функции системы достаточно получить отклик системы на импульсное воздействие и найти его изображение. Знание позволяет определить, используя известную в операционном исчислении теорему умножения, реакцию системы на любое входное воздействие. Найдем оригинал для :
.
Из уравнения (10.5) оригинал найдется по теореме умножения изображений:
(10.7)
( - свертка функций и ).
При практическом применении операторных методов исследования линейных систем передаточная функция находится из анализа физических принципов функционирования входящих в устройство элементов, описания их с помощью дифференциальных и интегральных операторов и последующего перехода к изображениям.
Формула (10.6) позволяет исследовать анализируемую реальную систему на адекватность выбранной математической модели. Для этого нужно определить из эксперимента реакцию системы на импульсное воздействие и сравнить с , полученной из математической модели.
2).Характеристики элементов электрических цепей в операторной форме.
Рассмотрим электрическую цепь, содержащую активное сопротивление, катушку индуктивности и конденсатор (реактивные элементы) (рис.10.2).
|
|
Найдем передаточные функции этих элементов.
2.1. Активное сопротивление.
По закону Ома
.
Переходя к изображениям, получим
, .
2.2. Индуктивное сопротивление.
Обозначим L – индуктивность катушки. Из электротехники известно:
- напряжение на катушке индуктивности.
Переходя к изображениям (при ), получим:
.
Можно интерпретировать (в математическом отношении) как индуктивное сопротивление элемента L в операторной форме в плоскости изображений.
2.3. Емкостное сопротивление.
Из электротехники известно:
- напряжение на конденсаторе емкостью С.
Полагая и .
Как и в предыдущем случае, можно говорить о сопротивлении конденсатора в операторной форме
.
Преобразование Лапласа является линейным. Поэтому известные в электротехнике законы Кирхгофа имеют свои аналоги в плоскости изображений:
1) - 1-ый закон Кирхгофа (сумма изображений токов в узле равна нулю);
2) - 2-ой закон Кирхгофа (сумма изображений падений напряжения на элементах электрической цепи в замкнутом контуре, не содержащем источников э.д.с. (электродвижущей силы) равна нулю).
Использование этих законов позволяет находить общее сопротивление электрической цепи при последовательном и параллельном соединении активных и реактивных элементов по правилам, принятым для расчетов сопротивлений соответствующих соединений активных сопротивлений.
3) Примеры нахождения передаточных функций электрических цепей.
3.1. Дифференцирующее звено (рис. 10.3).
|
;
.
Произведение имеет размерность времени (сек). Величину называют постоянной времени -цепи. Поэтому передаточная функция рассматриваемой - цепи
. (10.8)
Если (физически это означает, что , где наибольшая частота в спектре входного воздействия), то
; .
Переходя к оригиналам, получим
.
Поэтому рассматриваемую цепь называют дифференцирующим звеном.
Для оценки качества (по различным критериям) электрических, электромеханических систем, систем автоматического управления и регулирования переходя к изображениям, получим
проводят исследование (как теоретическое, так и экспериментальное) реакции системы на единичное входное воздействие («скачок»).
, .
при единичном входном воздействии называют переходной функцией и обозначают через . Знание переходной функции позволяет определить выходной сигнал системы при любом входном воздействии . Действительно, если , то
Поэтому из (10.5)
,
где . При произвольном входном воздействии формулу (10.5) запишем в виде
По формуле Дюамеля
.
Для исследуемой цепи
.
Переходя к оригиналу (используя таблицу изображений), получим
.
График переходной функции изображен на рис.10.4.
3.2. Интегрирующее звено (рис 10.5).
|
В операторной форме
,
,
. (10.9)
Звено с такой передаточной функцией называют апериодическим звеном первого порядка.
Если (физически это означает, что , где наименьшая частота в спектре входного воздействия), то
.
Переходя к оригиналам, получим
.
Поэтому такое звено называют интегрирующим.
Для определения переходной функции воспользуемся формулой (10.7)
,
,
.
График переходной функции изображен на рис.10.6.
3.3. Колебательное звено (рис.10.7).
|
В операторной форме
,
,
.
Величина LC имеет размерность (сек2).
Обозначив , , приведем передаточную функциюколебательного звена к стандартному виду:
. (10.10)
Найдем переходную функцию колебательного звена:
,
. (10.11)
Для нахождения выполним следующие элементарные преобразования:
1) - выделение полного квадрата в знаменателе; рассмотрим случай (при этом квадратному трехчлену в знаменателе соответствует пара комплексно-сопряженных корней);
2) разложение правильной дроби на простейшие:
;
Коэффициенты А, В, С найдем методом неопределенных коэффициентов:
, , .
3)
Подставив полученное выражение в (10.11) и переходя к оригиналам (используем таблицу изображений по Лапласу), получим
График переходной функции колебательного звена приведен на рис.10.8.
Замечание.
При корни знаменателя в действительные отрицательные, поэтому будет содержать слагаемые вида или и колебательность в отсутствует.
Если , то
, и
Используя таблицу изображений, найдем оригинал:
.
График переходной функции приведен на рис.10.9
Обозначив , передаточную функцию можно представить в виде
.
Звено с такой передаточной функцией называют апериодическим звеном второго порядка. Это звено эквивалентно двум последовательно соединенным апериодическим звеньям с одинаковыми постоянными времени.
При оба корня знаменателя передаточной функции будут вещественными и отрицательными. Поэтому, может быть представлена в виде
,
где , .
При единичном входном возмущении
Переходя к оригиналу, получим
,
где .
Рассматриваемое звено, как и в предыдущем случае, называют апериодическим звеном второго порядка, которое эквивалентно двум последовательно соединенным апериодическим звеньям первого порядка с различными постоянными времени и .
График переходной функции апериодического звена второго порядка представлен на рис. 10.10
4). Частотные характеристики линейных систем.
Общее решение уравнения (10.1) имеет вид:
Где - общее решение соответствующего однородного уравнения;
- частное решение данного уравнения.
Оператору уравнения (10.1) соответствует характеристическое уравнение
.
Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части ( ), то . Это обусловлено тем, что содержит слагаемые вида (для простого корня) или (для k – кратного корня), модули которых стремятся к 0 при ( , т.к. ). Функция отражает собственные колебания системы, которые с течением времени затухают. Поэтому при - установившийся режим (колебания системы обусловлены входным воздействием ).
Пусть , , (множество комплексных чисел).
Будем искать частное решение в виде , - неизвестное число, подлежащее определению.
; и вообще,
.
Подставив в уравнение (10.1), получим
.
Функция характеризует частотные свойства линейной системы. Нетрудно видеть, что . Представим в виде:
,
- частотная характеристика системы;
- амплитудно-частотная характеристика системы (коэффициент усиления системы на частоте );
- фазочастотная характеристика системы (она выражает сдвиг по фазе выходного сигнала системы по отношению к входному сигналу на частоте ).
Найдем частотные характеристики электрических цепей, рассмотренных в 3.1, 3.2, 3.3.
4.1. Дифференцирующее звено.
; ; ;
; .
График амплитудно-частотной характеристики приведен на рис.10.11.
Низкие частоты подавляются (коэффициент усиления уменьшается при уменьшении ). Устройство называют фильтром верхних частот.
4.2. Интегрирующее звено.
; .
; ; .
График приведен на рис 10.12.
Устройство называют фильтром низких частот (высокие частоты подавляются).
.
4.3. Колебательное звено.
,
,
,
,
.
Нетрудно показать, что на этой частоте имеет экстремум (max). Частота называется резонансной частотой колебательного контура.
.
На рис. 10.13 приведена амплитудно-частотная характеристика колебательного звена.
Рис. 10.13
При малых потерях в колебательном контуре (R – малая величина) величина мала и при частотах входного воздействия близких к наблюдается резкое увеличение амплитуды колебаний выходного напряжения (происходит «раскачка» системы). Это явление носит название резонанса.
Для исследования процессов в колебательном звене при резонансе частотный метод использовать нельзя, т.к. он не отражает переходных процессов и пригоден лишь для исследования установившихся режимов. Поэтому воспользуемся операторным методом исследования, положив (физически это означает отсутствие потерь в колебательном звене, что имеет место при R = 0). Подобная идеализация реальных процессов позволяет выявить существенные моменты, имеющие место при резонансе.
-
передаточная функция колебательного звена при отсутствии потерь. Частоту называют собственной частотой колебательного звена. Найдем выходной сигнал колебательного звена при (амплитуду выходного сигнала можно принять равной 1).
;
Используя таблицу изображений, найдем :
.
Слагаемое отражает как раз тот факт, который был назван «раскачкой системы»: при воздействии на систему с частотой равной резонансной, происходит увеличение амплитуды колебаний выходного сигнала.
Эффект резонанса широко используется, например, в радиотехнических устройствах при выделении полезного сигнала заданной частоты из всего спектра сигналов, поступающих в приемное устройство. В механических системах явление резонанса может быть использовано при создании вибрационных машин (амплитуда колебаний вибратора должна быть максимально большой). В качестве отрицательного результата явления резонанса можно рассматривать разрушение механических конструкций при совпадении собственной частоты их колебаний и частоты внешнего возмущающего воздействия.
4.4. Фазоопережающее звено.
Фазоопережающие звенья используются для достижения устойчивости систем автоматического регулирования и коррекции их динамических характеристик. Поэтому такие звенья называют корректирующими. Практически корректирующие звенья часто реализуются на операционных усилителях, включая необходимые активные и реактивные элементы на выходе усилителя или в обратную связь.
На рис.10.14 приведена простейшая схема фазоопережающего звена.
|
Передаточная функция устройства находится по формуле
, где
- операторное сопротивление цепи обратной связи операционного усилителя (ОУ),
- операторное сопротивление входной цепи ОУ.
В рассматриваемой цепи ;
- операторное сопротивление параллельно соединенных конденсатора и резистора .
, где .
Рассматриваемое корректирующее устройство имеет передаточную функцию
,
где k – коэффициент усиления звена на нулевой частоте;
- амплитудно-частотная характеристика звена (АЧХ);
- фазочастотная характеристика звена (ФЧХ).
В качестве примера рассмотрим корректирующее фазоопережающее звено с параметрами:
,
,
.
- часть ветви гиперболы с полуосями a = 1, b = 10 (ось - мнимая ось).
График АЧХ представлен на рис. 10.15.
.
График ФЧХ представлен на рис. 10.16.
Из графиков следует, что коэффициент усиления звена при больше 1 и на любой частоте выходное напряжение опережает по фазе входное напряжение (поэтому звено и называют фазоопережающим).
Дата добавления: 2021-11-16; просмотров: 462;